几何图形的折叠与动点问题

1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E在BC上，CE＝4，点F是AD上的一个动点，若把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当点B′恰好落在矩形ABCD的一边上，则AF的长为________．

第1题图

11

3或 3 【解析】如解图①，当点B′落在边AD上时，则易证四边形BEB′F为菱形，∴BF＝BE＝9－4＝5，由勾股定理易求AF＝3；如解图②，当点B′落在边CD上时，BE＝B′E＝9－4＝5.由勾股定理易求B′C＝3，∴B′D＝4－3＝1.设AF＝x，则FD＝9－x.根据折叠的性质得BF＝B′F，∴x2＋42＝(91111

－x)＋1，解得x＝3，∴AF＝3或 3.

2

2

第1题解图

2.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是________．

第2题图

6－25≤BP≤4 【解析】①如解图①，当F、D重合时，BP的值最小，根据折叠的性质可知：AF＝PF＝6，在Rt△PFC中，PF＝6，FC＝4，则PC＝25，∴BPmin＝6－25；②如解图②，当E、B重合时，BP的值最大，根据折叠的性质即可得到AB＝BP＝4，即BP的最大值为4；故BP的取值范围是6－25≤BP≤4.

第2题解图

3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．

第3题图

4或4－22 【解析】当C落在BE的延长线上时，对应点为P1，如解图①，连接FP1，AP1，过P1点作P1H⊥FC，垂足为点H，交AD于点N，设FH＝x，∵∠P1BH＝45°，∴P1H＝BH＝x＋2，由折叠性质可得P1F＝FC＝6－2＝4，在Rt△P1HF中，x2＋(x＋2)2＝42，解得x＝7－1或x＝－7－1(舍去)，∴P1H＝2＋7－1＝7＋1，P1N＝7＋1－2＝7－1，在Rt△P1NA中，AP1＝AN2＋P1N2＝（7＋1）2＋（7－1）2＝4；当点C落在FA的延长线上时，对应点为P2，如解图②，易知P2F＝CF＝4，AF＝22＋22＝

22，∴AP2＝P2F－AF＝4－22 .

第3题解图

4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AB与CD不平行，AB＝CD＝5，BC＝12，点E是BC上的动点，将∠B沿着AE折叠，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′＝1，直线BB′与直线DC交于点H，则DH＝________．

第4题图

55HD11或13 【解析】如解图①所示，∵AD∥BC，∴△HB′D∽△HBC，∴HCDB′HD1＝CB，∵AB＝CD＝5，BC＝12，DB′＝1，∴＝，解得：HD

5＋HD125HDDB′＝11；如解图②所示，∵AD∥BC，∴△HB′D∽△HBC，∴HC＝BC，HD15

∵AB＝CD＝5，BC＝12，DB′＝1，∴＝，解得：DH＝13.故DH

5－HD1255

的长度为11或13.

5.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝8，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′分线段MN为3∶5的两部分时，EN的长为________．

第5题图

355539

11或13【解析】由翻折的性质，得AB＝AB′，BE＝B′E.①当MB′＝3，B′N＝5时，设EN＝x，得B′E＝x2＋25.由题意得△B′EN∽△AB′M，∴B′Ex2＋25ENx453552＝，即3＝，解得x＝11，∴EN＝x＝11；②当MB′8B′MAB′

＝5，B′N＝3时，设EN＝x，得B′E＝x2＋9，由题意得△B′EN∽△AB′B′Ex2＋9ENx75539M，∴＝，即5＝8，解得x2＝13，∴EN＝x＝13，故EN

B′MAB′355539的长为11或13.