?Tn?1531n?115?(?)?n?1n4………13分 422?3311111515?????????d1d2dn4416………14分
20、
?1?解：依题意知：椭圆的长半轴长a?2，则A(2，0)，
x2y2?2?14b设椭圆E的方程为-----------------------2分
由椭圆的对称性知|OC|＝|OB| 又∵AC?BC?0，|BC|＝2|AC| ∴AC⊥BC，|OC|＝|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形，
∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1) ，---------------------4分
将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得
b2?43
x23y2??144∴所求的椭圆E的方程为----------------------------------------------5分
?2?22Q(x0,y0)解：设在椭圆E上存在点Q，使得|QB|?|QA|?2，设，则
|QB|2?|QA|2??x0?1???y0?1???x0?2??y02?6x0?2y0?2?2.即
222
3x0?y0?2?0，--------①-------------------------------------------------7分
22x0?3y0?4?0又∵点Q在椭圆E上，∴由①式得
，-----------------②
27x0?9x0?2?0y0?2?3x0代入②式并整理得：，-----③
∵方程③的根判别式??81?56?25?0，
∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个---------9分
?3?证明：设点P(x1,y1)，由M、N是eO的切点知，OM?MP,ON?NP,
∴O、M、P、N四点在同一圆上，-------------------------------------10分
x12y12x12?y12x1y1(x?)?(y?)?(,)224---11分 22且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为
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即
x2?y2?x1x?y1y?0-----④
即点M、N满足方程④，又点M、N都在eO上，
eO:x2?y2?∴M、N坐标也满足方程
43----------⑤
⑤-④得直线MN的方程为
x1x?y1y?43----12分 43y1令y?0,得
m?43x1，令x?0得
n?--------13分
∴
x1?44,y1?3m3n，又点P在椭圆E上，
424113)?3()2?4??223m3n3mn4=定值.-----------------------------------14分 ∴，即(1(?,??)1??f(x)21、解：的定义域为a.
a2xf(x)=-a=-1ax+1x+a其导数…………………………………………………2分
'11(?,??)①当a?0时,f'(x)?0,函数在a上是增函数;
(-1,0)a上,f'(x)?0;在区间(0,+∞)上,f'(x)?0．
②当a?0时,在区间
所以,f(x)在
(-1,0)a是增函数,在(0,+∞)是减函数. ……………………………4分
?2?解：当a?0时, 则x取适当的数能使f(x)?ax，比如取
x?e?1a，
111f(e?)?1?a(e?)?2?ae?0?ae?1?a(e?)aaa, 所以a?0不合题意…6分 能使
1h(x)?2ax?ln(x?)a 当a?0时，令h(x)?ax?f(x),则
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问题化为求h(x)?0恒成立时a的取值范围.
h'(x)?2a?由于
11x?a2a(x??1)2a1x?a
?在区间
(-111(?,??),-)a2a上,h'(x)?0;在区间2a上,h'(x)?0. …………8分
h(?11)h(?)?02a,所以只需2a
?h(x)的最小值为
2a?(?即
1111e)?ln(??)?0?ln??1?a?2a2aa2a2……………………………10分 ,,
1?3?证明：由于f(x)?0存在两个异号根x1,x2，不妨设x1?0，因为a?x1?0,所以
?a?0………………………………………………………………………………11分
1?x?0g(x)?f(?x)?f(x)a构造函数:()
?11?g(x)?ln(?x)?ln(x?)?2axaa
2ax2g(x)???2a??0111x?x?x2?2aaa
'1111(?,0)??x1?0g(x)?g(0)?01所以函数g(x)在区间a上为减函数. Qa,则,
于是可知
f(-x1)-f(x1)>0x2??x1.即
,又
f(x1)?0f(-x1)>0=f(x2),
（0,??)上为减函数,由f(x)在
x1?x2?0……………………………………………14分
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