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………6分
……12分
19. （本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面
ABCD， PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明PA∥平面EDB； (2)证明PB⊥平面EFD； (3)求二面角C－PB－D的大小. (1)证明 如图所示，
连接AC，AC交BD于O，连接EO. ∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点. 在△PAC中，EO是中位线， ∴PA∥EO.
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB. ………4分 (2)证明 ∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD， ∴PD⊥DC.∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形.
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而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.① 同样，由PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD， 得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC.又PD∩CD＝D， ∴BC⊥平面PDC.
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE.②
由①和②且PC∩BC＝C可推得DE⊥平面PBC. 而PB?平面PBC，∴DE⊥PB. 又EF⊥PB且DE∩EF＝E，
∴PB⊥平面EFD. ………8分 (3)解 由(2)知，PB⊥DF.
故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角. 由(2)知DE⊥EF，PD⊥DB. 设正方形ABCD的边长为a， 则PD＝DC＝a，BD＝2a，
PB＝PD2＋BD2＝3a， PC＝PD2＋DC2＝2a， DE＝PC＝
12
2a， 2
在Rt△PDB中，DF＝
PD·BDa·2a6
＝＝a. PB33aDE3
＝， DF2
在Rt△EFD中，sin∠EFD＝
∴∠EFD＝60°.
∴二面角C－PB－D的大小为60°. ………12分 20．（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
1，右焦点到右顶点的距离为1． 2（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C交于A,B两点的直线l：y?kx?m(k?R)，使得OA?OB?0成
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立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.
x2y2c1解析：（1）设椭圆C的方程为2?2?1?a?b?0?，半焦距为c. 依题意e??，
aba2222由右焦点到右顶点的距离为1，得a?c?1．解得c?1，a?2．所以b?a?c?3．
x2y2??1．………4分 所以椭圆C的标准方程是43（2）解：存在直线l，使得OA?OB?0成立.理由如下：
?y?kx?m,?222由?x2y2得(3?4k)x?8kmx?4m?12?0．
?1,??3?4??(8km)2?4(3?4k2)(4m2?12)?0，化简得3?4k2?m2．
4m2?128km设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2??，x1x2?．
3?4k23?4k2若OA?OB?0．所以x1x2?y1y2?0．x1x2?(kx1?m)(kx2?m)?0，
4m2?128km2(1?k)x1x2?km(x1?x2)?m?0，(1?k)??km??m?0, 223?4k3?4k222化简得，7m?12?12k22．将k?272m?1代入3?4k2?m2中，1237123?4(m2?1)?m2，解得，m2?．又由7m2?12?12k2?12，m2?，
4712从而m?2122221或m??21． ，m?777 所以实数m的取值范围是(??,?2221][21,??)． …12分 7721.已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝f(x)＋ax－6lnx，其中a∈R. (1)当a＝1时，判断f (x)的单调性；
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(2)若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
解：(1)由f(x)＝lnx－，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝
axx＋a， x2
当a＝1时，f′(x)＝
x＋1
>0(x>0)，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．………5分 x2
ax(2)由已知得，g(x)＝ax－－5lnx，其定义域为(0，＋∞)，
a5ax2－5x＋ag′(x)＝a＋2－＝. xxx2
因为g(x)在其定义域内为增函数，所以?x∈(0，＋∞)，
g′(x)≥0，即ax2－5x＋a≥0，即a≥
5x. x＋1
2
而
5x55
＝≤，当且仅当x＝1时，等号成立， x＋112
x＋
2
x5
所以a≥. ………12分
2
22.(本题满分10分) 选修4－1《几何证明选讲》 已知A、B、C、D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线, AC∥DE,AC与BD相交于H点 (1)求证:BD平分∠ABC;
(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长. 22.解: 证明:(1)∵AC∥DE,∴
CDE=
DCA,又∵DBC
DBA=
DCA,∴
CDE=
DBA
∵直线DE为圆O的切线,∴
故
DBA=
CDE=
DBC,即BD平分∠ABC …………………………………5分
AHABDBC,∴=
CDBD
(2)∵CAB=CDB,且DBA=DBC,∴ABH∽
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