题组层级快练(三十三)
1.(2015·北京,文)设a,b是非零向量.“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【参考答案】：A
【试题解析】：若a·b＝|a||b|,则a与b的方向相同,所以a∥b.若a∥b,则a·b＝|a||b|,或a·b＝－|a||b|,所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件,选A. 2.已知a＝(1,2),2a－b＝(3,1),则a·b＝( ) A.2 C.4
【参考答案】：D
【试题解析】：∵a＝(1,2),2a－b＝(3,1),∴b＝2a－(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3). ∴a·b＝(1,2)·(－1,3)＝－1＋2×3＝5.
3.已知|a|＝6,|b|＝3,a·b＝－12,则向量a在向量b方向上的投影是( ) A.－4 C.－2 【参考答案】：A
2【试题解析】：∵a·b＝|a||b|cos〈a,b〉＝18cos〈a,b〉＝－12,∴cos〈a,b〉＝－.∴a在b
3方向上的投影是|a|cos〈a,b〉＝－4.
4.(2019·黑龙江大庆第一次质检)已知向量a＝(1,2),b＝(－2,m),若a∥b,则|2a＋3b|＝( ) A.70 C.35 【参考答案】：B
【试题解析】：∵a＝(1,2),b＝(－2,m),且a∥b,∴1×m＝2×(－2),∴m＝－4.∴a＝(1,2),b＝(－2,－4),∴2a＋3b＝(－4,－8),∴|2a＋3b|＝（－4）2＋（－8）2＝45.故选B. 5.已知向量a＝(1,2),a·b＝5,|a－b|＝25,则|b|等于( ) A.5 C.5
【参考答案】：C
【试题解析】：由a＝(1,2),可得a2＝|a|2＝12＋22＝5. ∵|a－b|＝25,∴a2－2a·b＋b2＝20.
∴5－2×5＋b2＝20.∴b2＝25.∴|b|＝5,故选C.
B.25 D.25 B.45 D.25 B.4 D.2 B.3 D.5
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3
6.(2019·保定模拟)若向量a,b满足|a|＝|b|＝1,(a＋b)·b＝,则向量a,b的夹角为( )
2A.30° C.60° 【参考答案】：C
3【试题解析】：∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝,
2
11
∴a·b＝|a||b|cos〈a,b〉＝,cos〈a,b〉＝,〈a,b〉＝60°.故选C.
227.设a,b,c是单位向量,且a＋b＝c,则a·c的值为( ) A.2 C.3
【参考答案】：B
【试题解析】：由|a|＝|b|＝|c|＝1,b＝c－a,两边平方得b2＝(c－a)2,∴1＝1＋1－2a·c,∴a·c1
＝. 2
8.(2019·江南十校联考)已知平面向量a,b,|a|＝1,|b|＝3,且|2a＋b|＝7,则向量a与向量a＋b的夹角为( ) πA. 2πC. 6
【参考答案】：B
【试题解析】：由题意,得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7,所以a·b＝0,所以a·(a＋b)＝1,且|a＋b|a·（a＋b）1π＝（a＋b）2＝2,故cos〈a,a＋b〉＝＝,所以〈a,a＋b〉＝,故选B.
23|a|·|a＋b|9.已知|a|＝1,|b|＝3,a＋b＝(3,1),则a＋b与a－b的夹角为( ) π
A. 62πC. 3
【参考答案】：C
【试题解析】：由a＋b＝(3,1),得|a＋b|2＝(a＋b)2＝4,又|a|＝1,|b|＝3,所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋2a·b＋3＝4,解得2a·b＝0,所以|a－b|＝|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝2,设a＋b与a－b（a＋b）·（a－b）|a|2－|b|21的夹角为θ,则由夹角公式可得cosθ＝＝＝－,且θ∈[0,π],所
2|a＋b||a－b|2×2
π
B. 35πD. 6πB. 3D.π 1B. 21D. 3B.45° D.90°
22以θ＝π,即a＋b与a－b的夹角为π.
33
πab10.(2019·人大附中模拟)已知a,b是非零向量,且向量a,b的夹角为,若向量p＝＋,则|p|＝
3|a||b|( ) A.2＋3 C.3
【参考答案】：D
π
【试题解析】：∵|p|2＝1＋1＋2cos＝3,∴|p|＝3.
3
11.如图所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是( )
B.2＋3 D.3
→→A.P1P2·P1P3 →→C.P1P2·P1P5 【参考答案】：A
2→→→→【试题解析】：由于P1P2⊥P1P5,故其数量积是0,可排除C；P1P2与P1P6的夹角为π,故其数
33→→→→
量积小于0,可排除D；设正六边形的边长是a,则P1P2·P1P3＝|P1P2||P1P3|cos30°＝
2→→→→
a2,P1P2·P1P4＝|P1P2||P1P4|cos60°＝a2.故选A.
→→
12.(2019·沧州七校联考)已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点,则AP·(AB＋→
AC)( ) A.有最大值为8 C.有最小值为2 【参考答案】：B
→→→→→【试题解析】：因为点P在边BC上,所以存在实数λ,使AP＝λAB＋(1－λ)AC,所以AP·(AB→→→→→→→＋AC)＝[λAB＋(1－λ)AC]·(AB＋AC)＝4＋AB·AC＝6.故选B.
→→13.(2019·河南鹤壁高级中学段考)如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,BF＝2FO,则→→
FD·FE等于( )
B.是定值6 D.与点的位置有关 →→B.P1P2·P1P4 →→D.P1P2·P1P6
3A.－
41C.－
4【参考答案】：B
8B.－ 94D.－ 9
→→→1→→→→→→
【试题解析】：∵BF＝2FO,圆O的半径为1,∴|FO|＝,∴FD·FE＝(FO＋OD)·(FO＋OE)＝
38→→→→→→1
|FO|2＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE＝()2＋0－1＝－.故选B.
39
→
14.(2019·河南豫北名校联盟对抗赛)已知△ABC的外接圆的半径为1,圆心为点O,且3OA＋→→→→
4OB＋5OC＝0,则OC·AB＝( ) 8A. 51C.－
5【参考答案】：C
→→→→→→→→→【试题解析】：因为|OA|＝|OB|＝|OC|＝1,由3OA＋4OB＋5OC＝0得3OA＋5OC＝－4OB和3→→4→→→→→→→4OB＋5OC＝－3OA,两个式子分别平方可得OA·OC＝－和OB·OC＝－.所以OC·AB＝
551→→→→→→→
OC·(OB－OA)＝OC·OB－OC·OA＝－.故选C.
5
→→→→
15.(2019·江西上饶一模)在边长为1的正方形ABCD中,2AE＝EB,BC的中点为F,EF＝2FG,→→
则EG·BD＝________. 1
【参考答案】：－
4
【试题解析】：以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系.
7
B. 54D. 5
11
∵正方形ABCD的边长为1,∴B(1,0),D(0,1),E(,0),F(1,).
32211→→
设G(a,b),由EF＝2FG,得(,)＝2(a－1,b－),
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