=
其中
（fx，fy）+ j
（fx，fy）
（fx，fy）= ? [?（x1，y1）]。 经希尔伯特滤波器，频谱面后的光
分布为T’（fx，fy）= T（fx，fy）·H（ff ，fy）
j
（fx，fy） fx 0
= 0 fx 0 - j（fx，fy） fx 0
像平面光场复振幅为 （以下无把握） t’（x3，y3）= ? -1[T’（fx，fy）]
j?（-x3，-y3） x3 0
= 0 x3 0 - j?（-x3，-y3） x3 0
光强分布为 I = t’· t’?
-? 2（-x3，-y3） x3 0 = 0 x3 0 ? 2（-x3，-y3） x3 0
（此结论和于美文书上的答案不一样，建议取消此题）
8．5 如图8-55所示，在激光束经透镜会聚的焦点上，放置针孔滤波器，可以提供一个比
较均匀的照明光场，试说明其原理。
针孔 L 激光器
图8.55（题8.5 图）
8．6 光栅的复振幅透过率为
t（x）= cos 2πf0 x
把它放在4f 系统输入平面P1上，在频谱面P2上的某个一级谱位置放一块λ/ 2位相板，求像面的强度分布。
解答：将复振幅透过率函数变换为
t（x）= cos 2πf0 x = [1+cos 2πf0 x ] / 2 其频谱为
T（fx）= ? [t（x）]
11?（fx）+ ? [cos 2πf0 x] 22111 = ?（fx）+ ?（fx- f0）+ ?（fx+ f0）
244 = 其中第一项为零级谱，后两项以次为+1级和-1级谱。设将λ/ 2位相板放在+1
级谱上，其透过率表达为
H（fx）= exp（jπ） 则频谱面P2后的光振幅变为 T’= T·H
111?（fx）+ ?（fx- f0）·exp（jπ）+ ?（fx+ f0） 244111 = ?（fx）- ?（fx- f0）+ ?（fx+ f0）
244 =
像平面光场复振幅为
t’（x）= ? -1 [T’] =
111 - exp（j2πf0x3）+ exp（-j2πf0x3） 24411 = - j sin（2πf0x3）
22 t’（x）
2 = t’（x）· t’（x）?
像平面强度分布为
I = =
1[1- j sin（2πf0x3）][1+ j sin（2πf0x3）] 411 =+ sin2（2πf0x3） 44像平面得到的仍是一周期函数，其周期缩小1倍，振幅减小4倍，本底也有所变化，并且出现图形的横向位移，位移量为1/2周期。
8．7 在用一维正弦光栅实现两个图象相加或相减的相干处理系统中，设图象A、B置于
输入平面P1原点两侧，其振幅透过率分别为：tA（x1- l，y1）和 tB（x1+ l，y1）；P2平面上光栅的空间频率为f0，它与l的关系为：f0 = l /λf，其中λ和f 分别表示入射光的波长和透镜的焦距；又设坐标原点处于光栅周期的1/4处，光栅的振幅透过率表示为：
G(x2,y2)?
1????1?expj(2?fx?)??02?2?2??????exp??j(2?f0x2?)?2??
试从数学上证明：
1）在输出平面的原点位置得到图象A、B的相减运算；
2）当光栅原点与坐标原点重合时，在输出平面得到它们的相加运算。 8．8 如何实现图形O1和O2的卷积运算？画出光路图并写出相应的数学表达式。 解答：第一步，制作O1的傅里叶变换全息图，光路如下： (x1，y1) L (x2，y2) O1 R -b H f f 全息图H的透过率为 tH = | 22
1 | + R0+ R01（fx，fy）exp_[ -j 2πfx b] 1
?（f，f）exp_[ j 2πfb] xyx
+R0
其中
1= ? [O1]，R0为平面参考波的振幅，b为参考点源的横向位移量。
第二步，进行卷积运算。在4f系统中，将O2置于输入平面（x1，y1），全息图置
于频谱平面（x2，y2），如图
x1,y1 x2,y2 L1 H L2 O1
O2
O2(x1,y1) O2几何像
O1? O2
f1 f1 ' f2 f2 ' x3,y3
频谱面后的光场为 UH'= ? [O2]·tH
=
2·{|
22
1 | + R0+ R0
1（fx，fy）exp_[ -j 2πfx b]
+R0
输出平面光场为
1?（fx，fy）exp_[ j 2πfx b]}
O2? ? -1[ tH]
= R02O2 + O1
O1? O2 + R0O1(x3-b，y3)?O2 + R0O1?(-x3-b，-y3)?O2
式中第三项即为O1 和O2的卷积运算，位置在x3 = b处。
8．9 在4f系统中用复合光栅滤波器实现图象的一维微分 ?g / ?x ，若输入图象g在x方
向的宽度为l，光栅频率应如何选取？
解答：设复合光栅的空间频率为f0和f0+，则滤波的结果使像平面上得到两套物的三
重像，两个正一级像的位相差等于π，它们离零级像的角间距1、2分别由下式确定
sin 1 = f0， （1）
sin 2 =（ f0 +） （2）
因而正一级像离零级像的线间距分别为
l1 = sin 1·f （3） l2 = sin 2·f （4）
其中f是透镜焦距。分析可知，得到微分结果的条件是
l1 - l2 l / 2 （l为物的宽度） （5）
将（1）、（2）两式代入（3）、（4）两式，再代入（5）式，得到
l1 - l2 = · f l / 2
l2?f （6）
因而复合光栅的空间频率差应满足（6）式关系，才能得到微分图像。
8．10 用4f系统通过匹配滤波器作特征识别，物g（x，y）的匹配滤波器为G*（fx，fy），
当物在输入平面上平移后可表示为g（x - a， y - b），求证此时输出平面上相关亮点的位置坐标为xi = a，yi = b。
8．11 用一个单透镜系统对图象进行θ调制假彩色编码，如图8-55所示。已知调制物Om
的光栅空间频率为100线/mm，物离透镜的距离为20cm，图象的几何宽度为6 × 6cm，试问透镜的孔径至少应多大，才能保证在频谱面上可进行成功的滤波操作。（工作波长范围为650.0—444.4nm）。 L 频谱面 O' 白光 Om d f 图8.56（题8.11图） 解答：
设：f0 = 100线/mm，d = 20cm，a×b = 6×6cm，max= 650．0nm，min= 444．4cm 求：透镜最小孔径 min 解：调制物Om的最大线度为
2l =（a2+b2）1/2 = 6√2cm
l = 3√2cm
欲在频谱面上进行成功的滤波操作，必须使所有物点的一级衍射波都能进入透 镜，最大衍射角θmax应与max相应，即
sinθmax / f0 = max 由几何关系得到
sinθmax = [（ / 2）- l ] / d 所以有
= 2 [d·f0·max + l ] 代入数据，得 = 110．85mm ? 111mm
答：透镜孔径至少应达到111mm，才能保证在频谱面上进行成功的滤波操作。
第九章习题解答
9-1. 用白光再现彩虹全息时，如果彩虹全息有实狭缝象，在狭缝实象处观察全息图，人眼将能观察到单色的全息象，试分析人眼在狭缝前后位置时的全息象的颜色分布情况。如彩虹全息再现的是虚狭缝，再分析人眼观察到的全息象情况。 答： A
M N P
B