习 题

8．1利用4f系统做阿贝—波特实验，设物函数t（x1，y1）为一无限大正交光栅

t(x1,y1)???1xx??1yy?rect(1)?comb(1)???rect(1)?comb(1)?

a1b1??b2a2b2??b1 其中a1、a2分别为x、y方向上缝的宽度，b1、b2则是相应的缝间隔。频谱面上得

到如图8-53（a）所示的频谱。分别用图8-53（b）（c）（d）所示的三种滤波器进行滤波，求输出面上的光强分布（图中阴影区表示不透明屏）。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

（a） （b） （c） （d） 图8.53（题8.1 图）

解答：根据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为 T ( fx , fy ) = ? [ t ( x1 , y1 )]

= { 将函数展开得 T ( fx , fy ) =

xxyy11? [rect(1)]·? [comb(1)] } ?{? [rect(1)·? [comb(1)]} b1a1b1b2a2b2a1a1a1{sinc(a1fx)+sinc(1)δ(fx-)+sinc(1)δ(fx+)+???} b1b1b1b1b1 ?

a2a1a1sinc(a2fy)+sinc(2)δ(fy-)+sinc(2)δ(fy+)+???} b2b2b2b2b2{（1） 用滤波器（b）时，其透过率函数可写为

1 fx = + 1/ b1 fy = 0 F ( fx , fy ) = 0 fx 1/ b1 fy = 任何值 滤波后的光振幅函数为 T·F =

a1a11sinc(1)[δ(fx-)+δ(fx+)] b1b1b1b1 输出平面光振幅函数为 t’（x3，y3）= ? -1[ T·F ]

=

2?x32?x3a1asinc(1){exp[j()]+exp[-j()]} b1b1b1b1 =

2?x32a1asinc(1)?cos() b1b1b12 输出强度分布为

4a12a122?x3 I（x3，y3）= sinc()?cos() 2bbb1114?x32a12a1 = sinc()?cos() - C 2b1b1b1其中C是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。

（2）用滤波器（c）时，其透过率函数可写为

1 fx ，fy 0

F ( fx , fy ) = 0 fx = fy = 0 滤波后的光振幅函数为 T·F =

2a1b1a2b2{{sinc(a11a1)?(fx-)+sinc(1)?(fx+)+???} b1b1b1b1a21a1)?(fy-)+sinc(2)?(fy+)+???} b2b2b2b2 ?

sinc( 输出平面光振幅函数为 t’（x3，y3）= ? -1[ T·F ]

= {

xaxx1[rect(3)?comb(3)] - 1rect(3)}

b1b1b1a1b1yyy1a[rect(3)?comb(3)] - 2rect(3)} b2a2b2b2b2 × {

输出强度分布为

I（x3，y3）= t’（x3，y3）2 有两种可能的结果，见课本中图8．9和图8．10。

（3）用滤波器（d）时，输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布，方向与滤波狭缝方向垂直，周期为b’，它与物光栅周期b1、b2的关系为

111=+ b’b12b22

8．2 采用图8-53（b）所示滤波器对光栅频谱进行滤波，可以改变光栅的空间频率，若光栅线密度为100线/mm，滤波器仅允许 + 2级频谱透过，求输出面上干板记录到的光栅的线密度。

解答：根据对8．1题的分析，当滤波器仅允许+ 2级频谱通过时，输出平面上的光振幅应

表达为

t’（x3）= ? -1 { sinc(a122)[?(fx-)+?(fx+)]} b1b1b14?x32a1a1sinc()cos = b1b1b1其振幅分布为一周期函数，空间频率是基频的2倍。而干板记录到的是强度分布：

24a12a124?x3 I = sinc()cos2b1b1b1 =

8?x32a12a1 - C sinc()cos2b1b1b12其中C是一个常数。

答：干板上记录到的光栅频率是基频的4倍，即400线/mm。

8．3 在4f系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数d = 4，线宽a =1，最

大透过率为1，如不考虑透镜有限尺寸的影响， （a）写出傅里叶平面P2上的频谱分布表达式；

（b）写出输出平面复振幅和光强分布表达式； （c）在频谱面上作高通滤波，挡住零频分量，写出输出平面复振幅和光强分布表达 式； （d）若将一个π位相滤波器 exp（jπ） x2，y2 ≤ x0，y0 H（x2，y2）=

0 其它

放在P2平面的原点上，写出输出平面复振幅和光强分布表达式，并用图形表示。

解答：将8．1题结果代入，其中b1 = d = 4，a1 = a = 1，除去与y分量有关的项，可得

（a）P2平面上的频谱分布为：

11111T(fx)={sinc(fx)+sinc()?(fx-)+sinc()?(fx+)+???}

44444（b）输出平面：

复振幅 t（x3）= ? -1 [T（fx）]

若不考虑透镜尺寸的影响，它应该是原物的几何像，即

x1[rect(x3)?comb(3)] 44x1光强分布 I (x3) = | t (x3)| 2 = [rect(x3) ?comb(3)]2

164 t (x3) =

(c)挡住零频分量，输出平面情况与8．1题（3）相同，即 t (x3) =

xx11[rect(x3)?comb(3)]-rect(3) 4444 I = | t (x3) | 2

由于a = d / 4，所以强度将出现对比度反转，像光栅常数仍为d = 4，线宽为 a’= 3，见下图

t（x3） I（x3）

0 x3 ··· ··· ··· ··· 0 x3

（d）将一个位相滤波器置于零频上。滤波器可表达为 exp（j ） f x = f y = 0 H（f x，f y）=

1 f x，f y 0 只考虑一维情况，频谱变为 T’（f x）= T（f x）·H（f x）

11111{sinc(fx)exp(j?)+sinc()?(fx-)+sinc()?(fx+)+???} 4444411111={-sinc(fx)+sinc()?(fx-)+sinc()?(fx+)+???} 44444=

输出平面上的复振幅为

t (x3) = ? -1[T（f x）·H（f x）] = -

xx111rect(x3)+[rect(x3)?comb(3)] - rect(3) 444448．4 图8-54所示的滤波器函数可表示为：

1 fx＞0 H（ff ，fy）= 0 fx＝0

-1 fx＜0 此滤波器称为希尔伯特滤波器。

证明希尔伯特滤波能够将弱位相物体的位相变化转变为光强的变化。

y L1 fy L2

x fx

x'

y'

图8.54（题8.4 图）

解答：位相物可表达为

t0（x1，y1）= A·exp [ j ?（x1，y1）]

对于弱位相物有? 1弧度，上式近似为（忽略A）

t0（x1，y1） 1+ j ?（x1，y1）

滤波平面得到

T（fx，fy）= ? [t0（x1，y1）]