8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上． （1）求抛物线解析式；

（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点

Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 则点A（1，4）；

（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6， 点P（1，4﹣t），则点D（

，4﹣t），设点Q（

，4﹣

，解得：，

），

S△ACQ＝×DQ×BC＝﹣t2+t，

∵﹣＜0，故S△ACQ有最大值，当t＝2时，其最大值为1； （3）设点P（1，m），点M（x，y）， ①当EC是菱形一条边时， 当点M在y轴右方时，

点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C， 则点P平移3个单位、向下平移3个单位得到M， 则1+3＝x，m﹣3＝y，

而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2， 解得：y＝m﹣3＝故点M（4，

）；

，

当点M在y轴左方时， 同理可得：点M（﹣2，3+②当EC是菱形一对角线时， 则EC中点即为PM中点， 则x+1＝3，y+m＝3，

而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+（m﹣2）2， 解得：m＝1，

故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2， 故点M（2，2）； 综上，点M（4，

）或（﹣2，3+

）或M（2，2）．

）；

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．

（1）求直线DE和抛物线的表达式；

（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点

M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，

当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．

解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2， 同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；

（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，

将点FB代入一次函数表达式，

同理可得直线BF的表达式为：y＝﹣x+1， 设点P（x，﹣x2+x+2），则点H（x，﹣x+1），

S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO＝2+2（﹣x2+x+2+x﹣1）＝7，

解得：x＝2或， 故点P（2，3）或（，

）；

（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），

过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，

∵MN＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），

A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，

联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1）， 由中点坐标公式得：点A″（3，0），

同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③， 联立①③并解得：x＝，即点M（，）， 点M沿ED向下平移2

个单位得：N（，﹣）．

10．如图1，抛物线y＝（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于B点，S△OAB＝1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，l交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若∠BAO＝∠PCD，求证：AC＝2AD；

（3）如图3，以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N两点，当直角∠MAN绕

A点旋转时，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标．

解：（1）由题意和y＝（x﹣m）2设A（m，0）