则△A′EP∽△PFB′． ∴

＝

．

∴＝，

∴x1x2+（x1+x2）+1＝9（y1+y2）﹣y1y2﹣81． 令x2﹣4x+4＝x+t，则x2﹣5x+4﹣t＝0． 则x1+x2＝5，x1x2＝4﹣t．

y1+y2＝（x1+t）+（x2+t）＝x1+x2+2t＝5+2t．

y1y2＝（x1+t）（x2+t）＝x1x2+t（x1+x2）+t2＝t2+4t+4．

∴（4﹣t）+5+1＝9（5+2t）﹣（t2+4t+4）﹣81． 整理，得t2﹣15t﹣50＝0． 解得 t1＝20，t2＝﹣5（舍去）． 综上所述，t的值是0或20．

5．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4），抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点为点D．

（1）如图1，求抛物线的函数表达式；

（2）如图2，连接AC、AD，将△ABC沿AC折叠后与AD、y轴分别交于点交于E、G，求

OG的长度；

（3）如图3，将抛物线在AC上方的图象沿AC折叠后与y轴交与点F，求点F的坐标． 解：（1）如图1，

∵四边形OABC是矩形，B（2，4）， ∴A（0，4），C（2，0），

∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过A、C两点， ∴∴

，

，

∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣2x2+2x+4；

（2）如图2，

由题意得：△ABC≌△AB′C．

∴∠BCA＝∠B′CA． ∵AO∥BC，

∴∠BCA＝∠B′CA，∠BCA＝∠OAC， ∴∠B′CA＝∠OAC． ∴AG＝CG．

设OG＝x，则AG＝CG＝4﹣x． 在Rt△OGC中，22+x2＝（4﹣x）2， 得∴

（3）如图3，在AC上方的抛物线图象取点F的对称点F′，过点F′作y轴的平行线交直线AC于点G．

， ；

由题意得：∠FAC＝∠F′AC，F′A＝FA． ∵AO∥F′G， ∴∠FAC＝∠AGF′．

∵∠FAC＝∠F′AC，∠FAC＝∠AGF′． ∴∠F′AC＝∠AGF′， ∴F′A＝F′G．

易得直线AC的解析式为：y＝﹣2x+4． 设点F（n，﹣2n2+2n+4），则G（n，﹣2n+4）． ∴F′G＝﹣2n2+4n，F′A2＝n2+（﹣2n2+2n）2． ∵F′A＝F′G．

∴F′A2＝F′G2．

即：n2+（﹣2n2+4n）2＝（﹣2n2+2n）2， 解得：n1＝0（舍去），∴

．

，

．

∴F′A＝F′G＝FA＝∴F（0，

）．

6．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点

P在第三象限．

①当线段

时，求tan∠CED的值；

②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点P的坐标．

解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴﹣

＝﹣

＝1，

∴b＝﹣2

∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3）， ∴c＝﹣3，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；