则E（m，﹣m+2）， ∴ME＝﹣m2+2m，

∴当m＝2时，ME取得最大值2， ∴E（2，1），

∴S△ACE＝S△ABC﹣S△ABE＝×5×（2﹣1）＝；

（3）作C′（0，﹣2）与 C关于x轴对称，连接BC′，过点D作DE⊥BC′于点E，

∴∠ABC＝∠ABC′， ∵

＝

，∠AOC＝∠BOC＝90°，

∴△AOC∽△COB， ∴∠ABC＝∠ACO， ∴∠ABC′＝∠ACO，

即∠BAN＝∠ACO﹣∠OBD＝∠DBC′， 由题意得DC′＝1、DB＝∵S△DBC′＝∴DE＝∴BE＝

， ，

＝

，BC′＝2，

，

∴tan∠DBC′＝tan∠BAN＝， 设N（n，﹣n2+n+2），且n＞0，

∴tan∠BAN＝＝＝，

①当2n+2＝9×（﹣n2+n+2）时，n1＝②当2n+2＝﹣9×（﹣n2+n+2）时，n1＝∴N点的坐标为（

，

）或（

，﹣

，n2＝﹣1（舍去）； ，n2＝﹣1（舍去）； ）．

4．抛物线y＝x2+（m+2）x+4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x+2与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P是抛物线上一点，若S△PAB＝2S△ABC，求点P的坐标；

（3）将直线AB上下平移，平移后的直线y＝x+t与抛物线交于A'，B'两点（A'在B'的左侧），当以点A'，B'和（2）中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．

解：（1）∵抛物线y＝x2+（m+2）x+4的顶点C在x轴正半轴上，

∴．

解得m＝﹣6．

∴抛物线的函数表达式是y＝x2﹣4x+4；

（2）如图1，过点C作CE∥AB交y轴于点E，设直线AB交y轴于点H．

由直线AB：y＝x+2，得点H（0，2）． 设直线CE：y＝x+b． ∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2， ∴C（2，0）．

∴2+b＝0，则b＝﹣2． ∴HE＝4、 由S△PAB＝2S△ABC，

可在y轴上且点H上方取一点F，使FH＝2HE，则F（0，10）． 过点F作FP∥AB交抛物线于点P1、P2．此时满足S△PAB＝2S△ABC， 设直线P1、P2的函数解析式为：y＝x+k． ∵F（0，10）在直线P1、P2上， ∴k＝10．

∴直线P1、P2的函数解析式为：y＝x+10． 联立

．

解得，，

综上，满足条件的点P的坐标是P1（﹣1，9），P2（6，16）；

（3）设A′（x1，y1），B′（x2，y2）， 显然，∠PA′B′≠90°．

（i）如图2，当∠A′B′P＝90°时，过点B′作直线MN∥y轴，A′M⊥MN于M，PN⊥

MN于N．

∵直线A′B′的解析式是y＝x+t， ∴∠B′AM＝45°．

进一步可得到△A′B′M，△PB′N都是等腰直角三角形． ∴PN＝NB′，

∴x2+1＝9﹣y2，即x2+y2＝8 ① 又y2＝x2+t，②

联立①②解得．

将点（4﹣t，4+）代入二次函数解析式，得4+＝（4﹣

﹣2）2．

解得 t1＝0，t2＝10（此时点A′与点P重合，舍去）；

②如图3，当∠A′PB′＝90°时，过点P作EF∥y轴，A′E⊥EF于E，B′F⊥EF于F．