《二次函数》压轴题综合培优训练

1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点

A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）判断△ABC的形状； （2）过点C的直线y＝

交x轴于点H，若点P是第四象限内抛物线上的一个动

点，且在对称轴的右侧，过点P作PQ∥y轴交直线CH于点Q，作PN∥x轴交对称轴于点

N，以PQ、PN为邻边作矩形PQMN，当矩形PQMN的周长最大时，在y轴上有一动点K，x轴上有一动点T，一动点G从线段CP的中点R出发以每秒1个单位的速度沿R→K→T的路径运动到点T，再沿线段TB以每秒2个单位的速度运动到B点处停止运动，求动点G运动的最少时间及此时点T的坐标；

（3）如图2，将△ABC绕点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，点A、C的对应点分别为A′、

C′，且点C′恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC′．点E是y轴上的一个动点，连接AE、C′E，将△AC′E沿直线C′E翻折为△A″C′E，是否存在点A′，使得△BAA″为

等腰三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）△ABC是以AC为底的等腰三角形．理由如下： 由题意知抛物线y＝

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， ∴令x＝0，解得y＝∴A（

，0），

；令x＝0，解得：x1＝

，

；

，x2＝4

；

∴AC2＝AM2+MC2＝

＝30， ＝75， ＝75

BC2＝OB2+OC2＝AB2＝（OA+OB）2＝

∴AB＝BC

∴△ABC是以AC为底的等腰三角形． （2）如图1中，过点C的直线y＝

交x轴于点H，

令y＝0，解得x＝∴设P（m，∵y＝

﹣

，

﹣3＝

），则Q（m，

﹣

﹣3

），

∴抛物线对称轴为：直线x＝∴QP＝（

﹣3

）﹣（

， ﹣

﹣3

）＝﹣

+

，NP＝m﹣+

﹣

， ）＝

∴矩形PQMN的周长C+

矩形PQMN＝2（QP+NP）＝2（﹣

∵﹣＜0，开口向下，

时，C矩形PQMN最小，此时，P（3

，﹣3

），

∴当m＝3

∵R为线段CP的中点，

∴R（合，

，﹣3），作点R关于y轴对称点R′（﹣，﹣3），此时R与N重

由题意知：动点G运动的最少时间t＝RK+KT+TB，

在y轴正半轴上取点S（0，4），连接直线BS，则直线BS解析式为y＝﹣过点R′作R′J⊥BS于J，交y轴于K，交x轴于T，则R′J即为所求， ∵tan∠SBO＝

＝

＝

，

x+4，

∴∠SBO＝30°， ∴TJ＝TB 即t＝R′K+KT+TJ， ∵RR′＝3

，∠RR′J＝∠BTJ＝60°，

∴△KRR′为等边三角形，∠RKR′＝∠KRR′＝60° ∴∠KRM＝∠KHR＝30° ∴R′J＝2RR′＝6

（秒）；

即动点G运动的最少时间t＝6∵△JMT∽△JRR′ ∴∴TM＝3∴T（

＝

，即﹣3 ，0）；

＝

（3）①当AA''＝A''B时，如图2中，

此时，A''在对称轴上

对称性可知∠AC′E＝∠A''C′E 又∠HEC′＝∠A''C′E ∴∠AC′E＝∠HEC′ ∴HE＝HC'＝5∴OE＝HE﹣HO＝∴

②当AA''＝AB时，如图3中，设A″C′交y轴于J．

此时AA''＝AB＝BC'＝A''C' ∴四边形A''ABC'为菱形 由对称性可知

∠AC'E＝∠A''C'E＝30° ∴JE＝

∴OE＝OJ﹣JE＝6 ∴E（0，6）

③当AA''＝A''B时，如图4中，设AC′交y轴于M．