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故X的分布列为：

X4700039000 P511

1616

511

所以数学期望EX41500?????6分

1616

4700039000

（3）机器人在第0格为必然事件，P01，第一次掷硬币出现正面，机器人移到

1 第1格，其概率

P.机器人移到第n(2n49)格的情况只有两种： 1

2

1

①先到第n2格，又出现反面，其概率2

P， n 2 1 P 2 n

1

②先到第

n1

格，又出现正面，其概率

111 所以

PnPP，故PnP(PP)?????8分

n1n2n1n1n2 222

1

所以1n49时，数列{PnPn1}为首项 P1P，

0

2

1 公比为 的等比数列. 2 所以

P1P，

0

1 2 1

PnP)

(n

2

n ，

n

P2P()，

1

1 2 2

P3P()，，

2

1 3 2

以上各式累加，得

P1()()() n

111 12

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222

11121 1nn1n

所n)](0,1,,49)?10分 P1()()()[1(

22232

21502150

所以获胜概率)]

P[1()][1(， 49

3232 111491149

失败概率P)]?????11分

48 23232

215011491148

P49P[1)][1([)，所以获胜概率更大，

()]1(]050

323232

故此方案能吸引顾客购买该款产品.?????12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）函数fx的定义域为0,．f'xea

x

2

，????1分

x

永州市2020年高考第一次模拟考试·数学（理科）参考答案第4页（共7页）

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当a0时，'e

fx

xa 在0,单调递增，

x

a

f'ae10，x0时f'x-，

∴存在唯一正数 x，使得f'x00，?????3分

0 函数fx在

0,x单调递减，在x0,单调递增，

0

∴函数fx有唯一极小值点x0，没有极大值点，

∴当a0时，fx有唯一极小值点，没有极大值点．?????5分 （2）由（1）知，当a0时，fx有唯一极小值点x0，

x

∴fxmfxe0alnx，fx0恒成立fx00

00in

a

0

∵e x 0 1 ∴ x 0

1 ，则hx在0,单调递减， 令

hxlnx

x

由于1 h， 1.741ln1.740

h1.8ln1.80， 1.74

1.8

∴存在唯一正数m1.74,1.8，使得hm0，从而x00,m．??8分 x

由于fx0ealnx00恒成立，

0

a1

x fxalnxalnx0 ，∴000

xx 00

lnx0 ．?????6分

0

，

①当x00,1时，

x

fx0ealnx00成立；

0

xax，∴ 0

eln0

0

gx

． x

a e 0

l x n 0 1 xx

eln x

0 ， 2

lnx

②当x01,m时，由于

令 gx

x

e ，当x1,m时， lnx

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∴ gx

x

e 在1,m单调递减，从而agm． lnx

永州市2020年高考第一次模拟考试·数学（理科）参考答案第5页（共7页）

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