辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高二数学上学期期末试卷 理(含解析) 下载本文

【专题】计算题;数形结合;函数思想;方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由抛物线定义知:P到准线距离等于P到焦点A的距离,连结圆心B与A,交圆于C,AB交抛物线的点即为使d1+d2最小时P的位置.由此能求出结果.

2

【解答】解:∵点P是抛物线y=4x上的点, 点P到抛物线的准线的距离为d1,

22

P到圆(x+2)+(y+4)=4上的动点Q距离为d2,

由抛物线定义知:P到准线距离等于P到焦点A的距离, ∴如图,连结圆心B与A,交圆于C,

AB交抛物线的点即为使d1+d2最小时P的位置. ∴(d1+d2)min=|AC|, ∵B(﹣2,﹣4),A(1,0), ∴|AB|=

∴|AC|=5﹣2=3. 故选:D.

=5.|BC|=2.

【点评】本题考查与抛物线有关的两条线段和的最小值的求法,是中档题,解题时要熟练掌握抛物线性质.

10.设各项均为正数的数列{an}的前n项之积为Tn,若

A.7 B.8 C. D. 【考点】数列的求和.

【专题】转化思想;导数的综合应用;等差数列与等比数列.

,则

的最小值为( )

【分析】利用递推关系、利用导数研究函数的单调性、数列的单调性即可得出. 【解答】解:∵各项均为正数的数列{an}的前n项之积为Tn,∴a1=T1=2=4. n≥2时,an=

=

=2=4.

2n

n

2

当n=1时上式也成立, ∴an=4.则

n

===g(n),

考察函数f(x)=x+(x≥2)的单调性,

f′(x)=1﹣==,

<x,f′(x)>0,函数f

当2≤x时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当

(x)单调递增. 又g(2)=2+

2

=7,g(3)=2+

3

=>g(3).

∴的最小值为7.

故选:A.

【点评】本题考查了递推关系、利用导数研究函数的单调性、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

11.已知四面体ABCD的顶点A,B,C,D在空间直角坐标系中的坐标分别为

,O为坐标原点,

则在下列命题中,正确的为( ) A.OD⊥平面ABC B.直线OB∥平面ACD

C.直线AD与OB所成的角是45° D.二面角D﹣OB﹣A为45° 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.

【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】在A中,求出

=(﹣

),

=(﹣1,1,0),

=(﹣1,0,1),利

用向量法得OD⊥平面ABC;在B中,求出平面ACD的法向量,利用向量法得到直线OB∥平面ACD不成立;在C中,求出

=(0,1,0),

=(﹣

),利用向量法得到直线

AD与OB所成的角不是45°;在D中,由得量法得到二面角D﹣OB﹣A为135°.

【解答】解:在A中:∵四面体ABCD的顶点A,B,C,D在空间直角坐标系中的坐标分别为

,O为坐标原点,

∴=(﹣=

), =

=(﹣1,1,0),

=0,

=(﹣1,0,1),

∴OD⊥AB,OD⊥AC,又AB∩AC=A,

∴OD⊥平面ABC,故A正确; 在B中:∵

=(0,1,0),

=(﹣1,0,1),

=(﹣

),

设平面ACD的法向量=(x,y,z),

∴,取x=1,得=(1,﹣5,1),

∵=﹣5≠0,∴直线OB∥平面ACD不成立,故B错误;

=(0,1,0),

=(﹣

),

在C中:∵

∴cos<>===﹣,

∴直线AD与OB所成的角不是45°,故C错误; 在D中:

=(0,1,0),

=(1,0,0),

=(﹣

),

设平面AOB的法向量=(a,b,c), 则

,∴=(0,0,1),

设平面AOD的法向量=(x1,y1,z1),

则,取y1=1,得=(0,1,﹣1),

cos<>===﹣,

∴二面角D﹣OB﹣A为135°,故D错误.

故选:A.

【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

12.设双曲线C:(b>a>0)的左、右焦点分别为F1,F2.若在双曲线的右支上

存在一点P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线C的离心率e的取值范围为( )

A.(1,2] B. C. D.(1,2) 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;压轴题.

【分析】先利用双曲线的定义,得焦半径|PF2|=a,再利用焦半径的取值范围,得离心率的取值范围,再由已知b>a求得双曲线的离心率范围,两个范围求交集即可得双曲线的离心率范围

【解答】解:∵P在双曲线的右支上, ∴|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|=2a, ∴|PF2|=a≥c﹣a ∴e=≤2

又∵b>a,∴c﹣a>a, ∴e=>

2

2

2

∴e∈ 故选 B

【点评】本题主要考查了双曲线的定义和几何性质,焦半径的取值范围及其应用,双曲线离心率的取值范围求法,属基础题

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在答题卡的横线上) 13.已知双曲线

2

=1(a>b,b>0)的渐近线方程为y=±x,且经过点

2

则该双曲线的方程为 x﹣y=﹣1 .

【考点】双曲线的标准方程;双曲线的简单性质.

【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据题意,设双曲线的方程为(x+y)(x﹣y)=λ(λ≠0),代入点可求出双曲线的方程.

【解答】解:∵双曲线的渐近线方程为y=±x, ∴设双曲线的方程为(x+y)(x﹣y)=λ(λ≠0),

22

即x﹣y=λ,

∵双曲线过点.∴2﹣1=λ, ∴λ=1, 22

∴x﹣y=﹣1.

22

故答案为:x﹣y=1.

【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程.解题的关键是设双曲线的方程为(x+y)(x﹣y)=λ(λ≠0).