【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）求出c=1，设椭圆C的方程为解得a2=4，然后求解椭圆C的方程．
（2）由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，通过|AF2|，|BF2|，|AB|
，将点
代入，
成等差数列，推出
． 设B（x0，y0），通过
解
得B，然后求解直线方程，推出弦PQ的长即可．
【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分） 解：（1）由题意，c=1，… 设椭圆C的方程为解得a2=4（
舍去），…
． … ，将点
代入
，
所以，椭圆C的方程为
（2）由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，两式相加，得|AB|+|AF2|+|BF2|=8，
因为|AF2|，|BF2|，|AB|成等差数列，所以|AB|+|AF2|=2|BF2|， 于是3|BF2|=8，即
． …
设B（x0，y0），由
解得，…
（或设
，所以
所以，
，则
）．
，即
，…
，解得，
，直线l的方程为，…
圆O的方程为x2+y2=4，圆心O到直线l的距离此时，弦PQ的长
． …
20．如果函数y=f（x）的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数f（x）具有“P（a）性质”． （1）判断函数y=cosx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；
（2）已知函数y=f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时，f（x）=（x+m）2，求函数y=f（x）在区间[0，1]上的值域；
（3）已知函数y=g（x）既具有“P（0）性质”，又具有“P（2）性质”，且当﹣1≤x≤1时，g（x）=|x|，若函数y=g（x）的图象与直线y=px有2017个公共点，求实数p的值．
【考点】57：函数与方程的综合运用．
【分析】（1）根据题意可知cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx，故而a=2kπ，k∈Z； （2）由新定义可推出f（x）为偶函数，从而求出f（x）在[0，1]上的解析式，讨论m与[0，1]的关系判断f（x）的单调性得出f（x）的最值；
（3）根据新定义可知g（x）为周期为2的偶函数，作出g（x）的函数图象，根据函数图象得出p的值．
【解答】解：（1）假设y=cosx具有“P（a）性质”，则cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx恒成立，
∵cos（x+2kπ）=cosx，
∴函数y=cosx具有“P（a）性质”，且所有a的值的集合为{a|a=2kπ，k∈Z}．
（2）因为函数y=f（x）具有“P（0）性质”，所以f（x）=f（﹣x）恒成立， ∴y=f（x）是偶函数．
设0≤x≤1，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+m）2=（x﹣m）2． ①当m≤0时，函数y=f（x）在[0，1]上递增，值域为[m2，（1﹣m）2]． ②当
时，函数y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，
，值域为[0，（1﹣m）2]．
，值域为[0，m2]．
ymin=f（m）=0，③当
时，ymin=f（m）=0，
④m＞1时，函数y=f（x）在[0，1]上递减，值域为[（1﹣m）2，m2]． （3）∵y=g（x）既具有“P（0）性质”，即g（x）=g（﹣x），∴函数y=g（x）偶函数，
又y=g（x）既具有“P（2）性质”，即g（x+2）=g（﹣x）=g（x）， ∴函数y=g（x）是以2为周期的函数． 作出函数y=g（x）的图象如图所示：
由图象可知，当p=0时，函数y=g（x）与直线y=px交于点（2k，0）（k∈Z），即有无数个交点，不合题意．
当p＞0时，在区间[0，2016]上，函数y=g（x）有1008个周期，要使函数y=g（x）的图象与直线y=px有2017个交点，
则直线在每个周期内都有2个交点，且第2017个交点恰好为，所以同理，当p＜0时，综上，
．
．
．
21．给定数列{an}，若满足a1=a（a＞0且a≠1），对于任意的n，m∈N*，都有an+m=an?am，则称数列{an}为指数数列． （1）已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为{bn}是不是指数数列（需说明理由）；
（2）若数列{an}满足：a1=2，a2=4，an+2=3an+1﹣2an，证明：{an}是指数数列； （3）若数列{an}是指数数列，不能构成等差数列． 【考点】8B：数列的应用．
【分析】（1）利用指数数列的定义，判断即可； （2）求出{an}的通项公式为（3）利用反证法进行证明即可．
… 【解答】（1）解：对于数列{an}，因为a3=a1+2≠a1?a2，所以{an}不是指数数列．对于数列{bn}，对任意n，m∈N*，因为所以{bn}是指数数列． …
（2）证明：由题意，an+2﹣an+1=2（an+1﹣an），
所以数列{an+1﹣an}是首项为a2﹣a1=2，公比为2的等比数列． … 所
以
．
所
以
，
，试判断{an}，
（t∈N*），证明：数列{an}中任意三项都
，即可证明：{an}是指数数列；
，
，
=所以
，即{an}的通项公式为
（n∈N*）． …
，故{an}是指数数列． …
（3）证明：因为数列{an}是指数数列，故对于任意的n，m∈N*，有an+m=an?am，令m=1，则数列， 所以，
． …
，所以{an}是首项为
，公比为
的等比
假设数列{an}中存在三项au，av，aw构成等差数列，不妨设u＜v＜w， 则由2av=au+aw，得
，
所以2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t+3）w﹣u，…
当t为偶数时，2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u是偶数，而（t+4）w﹣u是偶数，（t+3）w﹣u是奇数，
故2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t+3）w﹣u不能成立； …
当t为奇数时，2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u是偶数，而（t+4）w﹣u是奇数，（t+3）w﹣u是偶数，
故2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t+3）w﹣u也不能成立．…
所以，对任意t∈N*，2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t+3）w﹣u不能成立， 即数列{an}的任意三项都不成构成等差数列． …