考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题．

分析： （1）首先根据AB是⊙O的直径，BC是切线，可得AB⊥BC，再根据DE⊥AB，判断出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以

=

；然后判断出

=

，即可判断出ED=2EP，据此判断出PE=PD即可．

，据此判断出

（2）首先根据△AEP∽△ABC，判断出AC?PD=AP?BC即可．

；然后根据PE=PD，可得

解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线， ∴AB⊥BC， ∵DE⊥AB， ∴DE∥BC， ∴△AEP∽△ABC， ∴

=

…①，

又∵AD∥OC， ∴∠DAE=∠COB， ∴△AED∽△OBC，

∴===…②，

由①②，可得ED=2EP， ∴PE=PD．

（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线， ∴AB⊥BC， ∵DE⊥AB， ∴DE∥BC， ∴△AEP∽△ABC， ∴

，

∵PE=PD， ∴

，

∴AC?PD=AP?BC．

点评： （1）此题主要考查了切线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．

26．（12分）（2015?天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限． （1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为物线与直线AC交于x轴上的同一点．

（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

时，试证明：平移后的抛

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式； （2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离

时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x

轴，交于M点，根据直线AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后的解析式，进而求得与x轴的交点，与直线AC的交点，即可证得结论；

（3）如答图3所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．

解答： 解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3） ∴点B的坐标为（4，﹣1）．

∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，

∴

解得：b=2，c=﹣1，

，

∴抛物线的函数表达式为：y=﹣x2+2x﹣1．

（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离轴，交于M点，

∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3）， ∴直线AC的解析式为y=x﹣1， ∵直线的斜率为1，

∴△P′PM是等腰直角三角形， ∵PP′=

，

时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x

∴P′M=PM=1，

∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位， ∵y=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣2）2+1，

∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+2， 令y=0，则0=﹣（x﹣3）2+2， 解得x1=1，x=52，

∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），

解，得或

∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），

∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．

（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F， 连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ， ∴四边形PQFN为平行四边形． ∴NP=FQ．

∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=

=2

．

．

∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2

点评： 本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称﹣最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．