天水市逸夫中学数学试卷 下载本文

考点: 切线的性质;相似三角形的判定与性质. 专题: 证明题.

分析: (1)首先根据AB是⊙O的直径,BC是切线,可得AB⊥BC,再根据DE⊥AB,判断出DE∥BC,△AEP∽△ABC,所以

=

;然后判断出

=

,即可判断出ED=2EP,据此判断出PE=PD即可.

,据此判断出

(2)首先根据△AEP∽△ABC,判断出AC?PD=AP?BC即可.

;然后根据PE=PD,可得

解答: 解:(1)∵AB是⊙O的直径,BC是切线, ∴AB⊥BC, ∵DE⊥AB, ∴DE∥BC, ∴△AEP∽△ABC, ∴

=

…①,

又∵AD∥OC, ∴∠DAE=∠COB, ∴△AED∽△OBC,

∴===…②,

由①②,可得ED=2EP, ∴PE=PD.

(2)∵AB是⊙O的直径,BC是切线, ∴AB⊥BC, ∵DE⊥AB, ∴DE∥BC, ∴△AEP∽△ABC, ∴

∵PE=PD, ∴

∴AC?PD=AP?BC.

点评: (1)此题主要考查了切线的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

(2)此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握.

26.(12分)(2015?天水)在平面直角坐标系中,已知y=﹣x2+bx+c(b、c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),点C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限. (1)如图,若抛物线经过A、B两点,求抛物线的解析式.

(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为物线与直线AC交于x轴上的同一点.

(3)在(2)的情况下,若沿AC方向任意滑动时,设抛物线与直线AC的另一交点为Q,取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,请说明理由.

时,试证明:平移后的抛

考点: 二次函数综合题.

分析: (1)先求出点B的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式; (2)如答题图2,设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离

时,到达P′,作P′M∥y轴,PM∥x

轴,交于M点,根据直线AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形,进而求得抛物线向上平移1个单位,向右平移1个单位,从而求得平移后的解析式,进而求得与x轴的交点,与直线AC的交点,即可证得结论;

(3)如答图3所示,作点B关于直线AC的对称点B′,由分析可知,当B′、Q、F(AB中点)三点共线时,NP+BQ最小,最小值为线段B′F的长度.

解答: 解:(1)∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),C的坐标为(4,3) ∴点B的坐标为(4,﹣1).

∵抛物线过A(0,﹣1),B(4,﹣1)两点,

解得:b=2,c=﹣1,

∴抛物线的函数表达式为:y=﹣x2+2x﹣1.

(2)如答题图2,设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离轴,交于M点,

∵点A的坐标为(0,﹣1),点C的坐标为(4,3), ∴直线AC的解析式为y=x﹣1, ∵直线的斜率为1,

∴△P′PM是等腰直角三角形, ∵PP′=

时,到达P′,作P′M∥y轴,PM∥x

∴P′M=PM=1,

∴抛物线向上平移1个单位,向右平移1个单位, ∵y=﹣x2+2x﹣1=﹣(x﹣2)2+1,

∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣(x﹣3)2+2, 令y=0,则0=﹣(x﹣3)2+2, 解得x1=1,x=52,

∴平移后的抛物线与x轴的交点为(1,0),(5,0),

解,得或

∴平移后的抛物线与AC的交点为(1,0),

∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点(1,0).

(3)如答图3,取点B关于AC的对称点B′,易得点B′的坐标为(0,3),BQ=B′Q,取AB中点F, 连接QF,FN,QB′,易得FN∥PQ,且FN=PQ, ∴四边形PQFN为平行四边形. ∴NP=FQ.

∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=

=2

∴当B′、Q、F三点共线时,NP+BQ最小,最小值为2

点评: 本题为二次函数中考压轴题,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换(平移,对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称﹣最短路线问题等知识点,考查了存在型问题和分类讨论的数学思想,试题难度较大.