；y?cosx为周期函数（T??）； y?cosx是周期函数（如图）

y?cos2x?1的周期为?（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

2y?f(x)?5?f(x?k),k?R.

⑩y?acos??bsin??a2?b2sin(???)?cos??11、三角函数图象的作法： １）、几何法：

b 有a2?b2?y. a２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.

３）、利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T?2?，频率f?1?|?|，相位?x??;初相?|?|T2?（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx

?替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数： 函数y＝sinx，??????的反函数叫做反正弦函数，记作???x???2，?2?????y＝arcsinx，它的定义域是［－1，

1］，值域是?－?，??．

??22??函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函数y＝tanx，?记作?????的反函数叫做反正切函数，????x???2，?2???????22?y＝arctanx，它的定义域是（－

∞，＋∞），值域是???，??．

函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II. 竞赛知识要点

一、反三角函数.

1. 反三角函数：⑴反正弦函数y?arcsinx是奇函数，故arcsin(?x)??arcsinx，（一?x???1,1定要注明定义域，若x????,???，没有x与y一一对应，故y?sinx无反函数） 注：sin(arcsinx)?x，x???1,1?，arcsinx????,??.

??22??⑵反余弦函数y?arccosx非奇非偶，但有arccos(?x)?arccos(x)???2k?，x???1,1?. 注：①cos(arccosx)?x，x???1,1?，arccosx??0,??.

②y?cosx是偶函数，y?arccosx非奇非偶，而y?sinx和y?arcsinx为奇函数. ⑶反正切函数：y?arctanx，定义域(??,??)，值域（?arctan(?x)??arctanx，x?(??,??).

??22,），y?arctanx是奇函数，

注：tan(arctanx)?x，x?(??,??).

⑷反余切函数：y?arccotx，定义域(??,??)，值域（???，y?arccotx是非奇非偶. ,）

22arccot(?x)?arccot(x)???2k?，x?(??,??). 注：①cot(arccotx)?x，x?(??,??).

②y?arcsinx与y?arcsin(1?x)互为奇函数，y?arctanx同理为奇而y?arccosx与y?arccotx非奇非偶但满足arccos(?x)?arccosx???2k?,x?[?1,1]arccotx?arccot(?x)???2k?,x?[?1,1].

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：

a的取值范围 解集 a的取值范围 解集 ①sinx?a的解集 ②cosx?a的解集

a＞1 ? =1 ?x|x?2k??arcsina,k?Z? ＜1 x|x?k????1?karcsina,k?Z

aa＞1 ?

a=1 ?x|x?2k??arccosa,k?Z?

a??a＜1 ?x|x?k??arccosa,k?Z?

③tanx?a的解集：?x|x?k??arctana,k?Z? ③cotx?a的解集：?x|x?k??arccota,k?Z? 二、三角恒等式.

sin2n?1?组一 ncos?cos2?cos4?...cos2??n?12sin?

组二

sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?sin2??sin2??sin?????sin??????cos2??cos2??k?1ncos?2k?cos?2cos?4cos?8?cos?2n?sin?2nsin?2n

?cos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd)?k?0nsin((n?1)d)cos(x?nd)

sind?k?0nsin(x?kd)?sinx?sin(x?d)???sin(x?nd)?sin((n?1)d)sin(x?nd)

sindtan(?????)?tan??tan??tan??tan?tan?tan?

1?tan?tan??tan?tan??tan?tan?组三 三角函数不等式

?sinx在(0,?)上是减函数 sinx＜x＜tanx,x?(0,) f(x)?2x若A?B?C??，则x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC