1?x?(x?x)?a?x?x?a2122?12?1?x?(a?x)?(x?x)?x?a?x2 这决定三角形区域I。 ?122112??(x2?x1)?(a?x2)?x1?x1?1a,?2?（II）设x1?x2。 AX1?x1,X1X2?x1?x2,X2B?a?x2，则三线段构成三角
1?x?(x?x)?a?x?x?a1221?12?1?形的充要条件是 ?(x1?x2)?(a?x2)?x1?x2?a 这决定区域II。
2??x1?(a?x2)?x1?x2?a?0,?? （III）当x1?x2时，不能构成三角形。由几何概率知，
P{三线段构成三角形}???I?面积?矩形?II?面积正方形EFGH面积
111?3?11???a?a?a?a?/a2?
222?8?22 z 30、解：设0到三点的三线段长分别为x,y,z，即相应的 1 C 右端点坐标为x,y,z，显然0?x,y,z?1。这三条线
段构成三角形的充要条件是： A D x?y?z,x?z?y,y?z?x。
在线段[0，1]上任意投三点x,y,z。与立方体 0 1 0?x?1，0?y?1，0?z?1中的点(x,y,z) 1 y 一一对应，可见所求“构成三角形”的概率，等价于在 x B 边长为1的立方体T中均匀地掷点，而点落在
x?y?z,x?z?y,y?z?x区域中的概率；这也就是落在图中由ΔADC，ΔADB，ΔBDC，ΔAOC，ΔAOB，ΔBOC所围成的区域G中的概率。由于V(T)?1,
111V(G)?13?3???13?，
322?p?V(G)/V(T)?由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大。
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1 231、解：设方格边长为a。当硬币圆心落于图中阴影部分 才与边界不相交（图中只取一个方格）。由几何概率得
P{硬币与线不相交}?阴影部分面积 1 方格面积?(a?1)2/a2.
令 (a?1)2/a2?0.01 a –1 因为当a?1时，硬币必与线相交（必然事件），故只需考虑 a a>1．当止式得 (a?1)/a?0.1,线不相交的概率小于1%。
32、解：从（0，1）中取出的两数分别为x,y，则(x,y)与 y
正方形ABCD内的点一一对应。 1 D C （1） 直线x?y?1.2与BC交点坐标为（1，0.2），与 (I ) DC点坐标为（0.2，1），所以由几何概率可得 A B 11a?1。即当方格边长a?1时，才能使硬币与
99P{两数之和小于1.2}?阴影区域?I?面积?1???1??0.8?0.8?/1?0.68
正方形面积?2? （2）双曲线xy?1?1?与BC交点坐标为?1,? 1 4?4?与DC交点坐标为?,1?，所以由几何概率得
?1??4?1?阴影区域?II?面积? P?两数之积小于??4正方形面积??1111111 ??1??1dx??lnx??ln4?0.6
14444444x41（3）直线x?y?1.2与曲线xy?1的交点坐标为（如图） 4??x1?0.6?0.111?0.932 ?y?0.6?0.111?0.268,??1?x2?0.268. ?y?0.932?2∴P{两数之和小于1.2，两数之积小于
1} 4 10
0.2680.93211阴影区域?III?面积(?x?1.2)dx??dx??(?x?1.2)dx ??0.2?1??0.20.2684x0.932正方形面积?1??0.2???x2?1.2x??2?
0.2680.21?lnx40.9320.268?1????x2?1.2x??2?1
0.932?0.2?0.0657?0.3116?0.0160?0.593
33、证：当n?2时，A1?A2?A1?(A2?A1A2)，A1与A2?A1A2两者不相容，所以
P(A1?A2)?P(A2?A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2).
此即当n?2时原式成立。
设对n?1原式成立，现证对n原式也成立。
P(A1???An?1?An)?P{A1???An?1?An}
?P(A1???An?1)?P(An)?P{A1???An?1?An} ?P(A1???An?1)?P(An)?P{A1An?A2An???An?1An}
对前后两项分别应用归纳假设得
P(A1???An?1?An)
?n?1????P(Ai)??P(AiAj)???(?1)n?2P(A1?An?1)??P(An)
n?1?j?i?1?n?1??n?1?n?2???P(AiAn)??P(AiAnAjAn)???(?1)P(AiAnAjAn?An?1An)?
n?1?j?i?1?i?1???P(Ai)?i?1nn?j?i?1?P(AiAj)???(?1)n?1P(A1A2?An).
至此，原式得证。
34、解：设Ai?{第i个战士拿到自己的枪}，i?1,2,?,N。Ai之间相容，现用上题公式解。
P(Ai)?(N?1)!?1/N!?1/N,
2P(AiAj)?(N?2)!?1?1/N!?1/N!?1/AN(i?j),??,P(A1A2?AN)?1/N!.
由公式得
P{至少有一个战士拿到自己的枪}?P(A1?A2???AN)
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??P(Ai)?i?1NN?j?i?1?P(AiAj)???(?1)N?1P(A1A2?AN)
?C1N121N?1N1 ?CN???(?1)CN2NN!ANN1(?1)k?1N?11 ?1????(?1)??2!N!k?1k!注：由此可求得，事件“至少有一个战士拿到自己的枪”的对立事件的概率为
NN(?1)k?1(?1)k(?1)kP{N个战士没有一个战士拿到自己的枪}?1?? ????k!k!k!k?1k?2k?0N
K35、解：某k个指定的战士拿到自己的枪的概率是1?1/AN。利用上题注（视这里N?k个
(?1)j战士都没有拿到自己枪的概率为P2??。恰有k个战士拿到自己的枪，则这k个战
j!j?0N?Kk士可以是N个战士中任意的k个战士，从N个战士中选出一组k个战士共有CN种选法，
所以事件“恰有k个战士拿到自己枪“的概率，是事件”某k个指定战士拿到自己的枪，且
k其余N?k个战士没有拿到自己的枪“概率的CN倍，可得
1P{恰有k个战士拿到自己枪}?C?kANkNN?k(?1)j1N?k(?1)j. ???j!k!j!j?0j?0
36、解：设考签编号为1,2,?,N，记事件Ai?{第x号考签未被抽到}，则
P(Ai)?(N?1)n/Nn，
P(AiAj)?(N?2)n/Nn(i?j),??， P(A1A2?AN)?(N?N)n/Nn?0；
诸Ai相容，利用第33题公式计算得
P={至少有一张考签未被抽到}?P{A1?A2???AN} ??P(A)??P(AA)???(?1)iiji?1N?j?i?12?CNNN?1P(A1A2?AN)
1Nn?C1N(N?1)nNn(n?2)nNnN?1???(?1)N?2CN?0
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