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1BDAD
17. 解析：(1) 在△ABD中，由正弦定理得＝＝，(1分)
sinαπ2π??sin sin
3?3－α?3cosα13
所以BD＝，AD＝＋，(3分)
22sinα2sinα则S＝a?
3cosα1?3cosα1??3?
＋)]＋4a?＋?＋2a[1－(?22?2sinα?2sinα??2sinα
＝a?
?43－3cosα3?
＋?，(6分) 2?2sinα?
π2π
由题意得α∈?，?.(7分)
3??3(2) 令S′＝3a·
α 1－4cosα1
＝0，设cosα＝. 0
4sin2α
?π，α? 0?3??1，1? ?42?<0 单调递减 α0 1 40 极小 ?α，2π? ?03??－1，1? ?24?>0 单调递增 cosα S′ S (11分)
1
所以当cosα＝时，S最小，
4此时sinα＝
3cosα15＋515
，AD＝＋＝.(12分) 42102sinα
c2
18. 解析：(1) 因为e＝＝且c＝2，
a2所以a＝22，b＝2.(2分) x2y2
所以椭圆方程为＋＝1.(4分)
84
(2) 设A(s，t)，则B(－s，t)，且s2＋2t2＝8.① 因为以AB为直径的圆P过M点，
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→→
所以MA⊥MB，所以MA·MB＝0，(5分) →→
因为MA＝(s＋6，t＋1)，MB＝(－s＋6，t＋1)， 所以6－s2＋(t＋1)2＝0. ②(6分) 170
由①②解得t＝或t＝－1(舍)，所以s2＝.(7分)
39
AB
因为圆P的圆心为AB的中点(0，t)，半径为＝|s|，(8分)
2170
y－?＝.(9分) 所以圆P的标准方程为x＋??3?9
2
2
(3) 设M(x0，y0)，则lAM的方程为y－y0＝
－tx0＋sy0；
s－x0
t－y0
·(x－x0)，若k不存在，显然不符合条件． s－x0
令x＝0得yC＝
同理yD＝
－tx0－sy0
，(11分)
－s－x0
22
22
?－tx0＋sy0·－tx0－sy0?＝?tx0－sy0?(13分)
所以OC·OD＝|yC·yD|＝??－s2?－s－x0??s－x0??x2?0
?tx0－sy0??t（8－2y0）－（8－2t）y0?＝?8t－8y0?＝4为定值．(16分) ＝?22?＝???2t2－2y2?28－2y2?x0－s????0－（8－2t）0?
11
19. 解析：(1) 由f(1)＝f(－1)得e＋b＝＋，
eb1
解得b＝－e(舍)，或b＝，(1分)
e
11
经检验f(x)＝ex＋x为偶函数，所以b＝.(2分)
ee
1
因为f(x)＝ex＋x≥2，当且仅当x＝0时取等号，(3分)
e所以f(x)的最小值为2.(4分)
(2) 假设y＝f(x)过定点(x0，y0)，则y0＝ex0＋bx0对任意满足b>0，且b≠1恒成立．(5分)
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22
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令b＝2得y0＝ex0＋2x0；令b＝3得y0＝ex0＋3x0，(6分)
3?所以2x0＝3x0，即??2?＝1，解得唯一解x0＝0，所以y0＝2，(7分)
经检验当x＝0时，f(0)＝2，所以函数y＝f(x)的图象经过唯一定点(0，2)．(8分) (3) 令g(x)＝f(x)－2＝ex＋bx－2为R上的连续函数，且g(0)＝0，则方程g(x)＝0存在一个解．(9分)
(i) 当b>0时，g(x)为增函数，此时g(x)＝0只有一解．(10分)
e?b
(ii) 当0
e????
x
x0
所以当x∈(－∞，xe)时，h(x)<0，所以g′(x)<0，g(x)为单调减函数； 当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，所以g′(x)>0，g(x)为单调增函数， 所以g极小(x)＝g(x0)．因为g(x)定义域为R，所以gmin(x)＝g(x0)．(13分)
①若x0>0，g(x)在(－∞，x0)上为单调减函数，g(x0)
②若x0<0，g(x)在(x0，＋∞)上为单调增函数，g(x0)
e?11x
③当x0＝log?(－lnb)＝0，则－lnb＝1，解得b＝，此时方程为g(x)＝e＋－2＝0， ?b?eex由(1)得，只有唯一解x0＝0，满足条件．
1
综上所述，当b>1或b＝时，方程f(x)＝2有且只有一个解．(16分)
e20. 解析：(1) 因为Sn＝qn－r，① 所以Sn－1＝qn1－r，(n≥2)②
－
①－②得Sn－Sn－1＝qn－qn1，即an＝qn－qn1，(n≥2)，(1分)
－
－
因为an＝pn1，所以pn1＝qn－qn1，(n≥2)，
－
－
－
当n＝2时，p＝q2－q；当n＝3时，p2＝q3－q2.
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因为p，q为正数，所以p＝q＝2.(3分)
因为a1＝1，S1＝q－r，且a1＝S1，所以r＝1.(4分) (2) 因为2Tn＝nbn，③
当n≥2时，2Tn－1＝(n－1)bn－1，④
③－④得2bn＝nbn－(n－1)bn－1，即(n－2)bn＝(n－1)bn－1，⑤(6分) 方法一：由(n－1)bn＋1＝nbn，⑥
⑤＋⑥得(2n－2)bn＝(n－1)bn－1＋(n－1)bn＋1，(7分) 即2bn＝bn－1＋bn＋1，所以{bn}为等差数列．(8分) 方法二：由(n－2)bn＝(n－1)bn－1， 得
bn－1bn＝， n－1n－2
bn－1bnb2当n≥3时，＝＝…＝，
1n－1n－2所以bn＝b2(n－1)，所以bn－bn－1＝b2.(6分) 因为n＝1时，由2Tn＝nbn得2T1＝b1， 所以b1＝0，则b2－b1＝b2，(7分)
所以bn－bn－1＝b2对n≥2恒成立，所以{bn}为等差数列．(8分) (3) 因为b1＝0，b2＝2，由(2)知{bn}为等差数列，所以bn＝2n－2.(9分) 又由(1)知an＝2n1，
－
4n－44n－22n2n＋2
所以Pn＝n－1＋n＋…＋2n－3＋2n－2，
22222n＋24n－44n－24n4n＋2
Pn＋1＝n＋…＋2n－3＋2n－2＋2n－1＋2n，
222224n＋22n12n＋2－4n·2n
所以Pn＋1－Pn＝2n－1＋2n－n－1＝，(12分)
24n22
4n
令Pn＋1－Pn>0得12n＋2－4n·2n>0， 6n＋11
所以2n<＝3＋<4，解得n＝1，
2n2n
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