[课时作业] [A组 基础巩固]

1．以下语句中

①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④{x|x2＋1＝0} 命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

解析：①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假不是命题；④不是陈述句，不是命题． 答案：B

2．下列说法正确的是( )

A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题

解析：A应写成“若p则q”的形式，B是命题，C是假命题，当a>4时，方程x2－4x＋a＝0无实根，所以D项是假命题，故选D. 答案：D

3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( ) A．若a∥b，则α∥β B．若α⊥β，则a⊥b

C．若a，b相交，则α，β相交 D．若α，β相交，则a，b相交

解析：由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面． 答案：D

4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )

A．4 B．2 C．0

D．－3

解析：方程无实根，应满足Δ＝a2－4<0，故a＝0时适合条件． 答案：C

5．“若x2－2x－8＜0，则p”为真命题，那么p是( ) A．{x|－2＜x＜4} C．{x|x＞4或x＜－2}

B．{x|2＜x＜4} D．{x|x＞4或x＜2}

解析：由x2－2x－8＜0易得－2＜x＜4，故选A. 答案：A

6．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________________.它是______命题(填“真”或“假”)．

解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．

答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真

7．把命题“已知a，b为正数，当a>b时，有log2a>log2b”写成“若p，则q”的形式：__________________________________________________________. 解析：“已知a，b是正数”是一个大前提． 答案：已知a，b为正数，若a>b，则log2a>log2b 8．下列命题中，真命题是________． ①若a2＝b2，则|a|＝|b|； ②若M∪N＝N，则M?N；

③函数y＝sin x，x∈[0,2π]是周期函数；

④若直线l与m异面，m与n异面，则l与n异面．

解析：①中a2＝|a|2，b2＝|b|2，故①正确；②正确；③x∈[0,2π]时不符合周期函数的定义，不是周期函数；④l与n有可能共面． 答案：①②

9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假． 11

(1)当a>b时，a

(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行； (3)同弧所对的圆周角不相等． 11

解析：(1)若a>b，则a

(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，真命题； (3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，假命题．

10．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．

1＋a

解析：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>5，则x>1”．由命题为1＋a

真命题可知5≥1，解得a≥4；

若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>1＋a

可知5≤1，解得a≤4.

故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命2

题“若x>1，则x>5”．

[B组 能力提升]

1．已知集合A＝{x|x2＜2}，若a∈A是真命题，则a的取值范围是( ) A．a＜2 C．－2＜a＜2

解析：∵a∈A是真命题，故a2＜2. ∴－2＜a＜2. 答案：C

2．已知下列三个命题：

11

①若一个球的半径缩小到原来的2，则其体积缩小到原来的8； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； 1

③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2相切． 其中真命题的序号为( ) A．①②③ C．①③

B．①② D．②③ B．a＞－2

D．a＜－2或a＞2

1＋a

”．由命题为真命题5

4?R?31431

解析：对于命题①，设球的半径为R，则3π?2?＝8·πR，故体积缩小到原来的

38，??命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题112

③，圆x2＋y2＝2的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝2，等于圆的半2径，所以直线与圆相切，命题正确． 答案：C

3．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：∵ax2－2ax－3>0不成立， ∴ax2－2ax－3≤0恒成立， ∴当a＝0时，－3≤0恒成立，

?a<0当a≠0时，?，∴－3≤a<0.综上－3≤a≤0.

?Δ≤0答案：[－3,0]

4．将下列命题改写成“如果p，那么q”的形式，并判断命题的真假． (1)两条直线相交有且只有一个交点；

(2)到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上； (3)全等的两个三角形面积相等．

解析：(1)如果两条直线相交，那么它们有且只有一个交点，是真命题． (2)如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上，是真命题．

(3)如果两个三角形全等，那么它们的面积相等，是真命题．

5．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 解析：若命题p为真命题，则可知m≤1； 若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.

所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，有p真q假或p假q真， ?m≤1?m>1，即?或?

?m<2.?m≥2