答案 C D B D C A B A 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）

9．1 12. ?,2 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分13分） 解：

（Ⅰ）f(x)?sin2xcos3π3π3π?cos2xsin?sin(2x?)- 5552π?π， 210．2 13．2 11. 34 14．①③ 所以f(x)的最小正周期T?因为y?sinx的对称轴方程为x?kπ?π,k?Z， 23ππ??kπ,k?Z， 5211π1得x??kπ,k?Z.

202令2x?11π1?kπ,k?Z. 2023ππ3ππ??2kπ和2x????2kπ,k?Z， 或者：f(x)的对称轴方程为2x?525211ππ?kπ和x??kπ,k?Z. 即x?2020所以f(x)的对称轴方程为x?π（Ⅱ）因为x?[0,]，

2所以2x?[0,π]， 所以2x? 所以，当2x?3π3π2π?[?,] 5553πππ时， ??即x?5220πf(x)在区间[0,]上的最小值为?1.

216.（本小题满分13分）

解：

(Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)?1%=12(人)；

选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)?1%=8(人). (Ⅱ)(ⅰ)依题意，随机变量X可取0，1，2.

0231C64C2C6C24C62C233p(X?0)??p(X?2)??. p(X?1)??；；

C8414C8414C847故随机变量X的分布列为

X p 0 3 141 4 72 3 14

(ⅱ)法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500(4?X)=6000+500X， 所以随机变量Y的数学期望为

E(Y)=6000+500E(X)

=6000+500(0?34314?1?7?2?14) =6500.

(ⅱ)法2：依题意，随机变量Y可取6000，6500，7000. 所以随机变量Y的分布列为

Y 6000 6500 7000 p 3 43147 14 所以随机变量Y的数学期望为 E(Y)=6000?314?6500?437?7000?14 =6500.

17.（本小题满分14分） 解：

（Ⅰ）因为AD?DB，且DB?1，AB?2，所以AD?3， 所以?DBA?60.

因为?ABC为正三角形，所以?CAB?60，

又由已知可知ACBD为平面四边形，所以DB//AC. 因为AC?平面PDB，DB?平面PDB， 所以AC//平面PDB.

（Ⅱ）由点P在平面ABC上的射影为D可得PD?平面ACBD，

所以PD?DA，PD?DB.

如图，建立空间直角坐标系，则由已知可知B(1,0,0)，zPA(0,3,0)，P(0,0,1)，C(2,3,0).

yA平面ABC的法向量n?(0,0,1)，

D设m?(x,y,z)为平面PAB的一个法向量，则 Bx由???BA?m?0,可得?????x?3y?0,?BP?m?0???x?z?0,

令y?1，则x?3,z?3，所以平面PAB的一个法向量m?(3,1,3)，

C所以cos?m,n??m?n321， ??|m||n|77?121. 7uuuruuur（Ⅲ）由（Ⅱ）可得AB?(1,?3,0)，PC?(2,3,?1)，

所以二面角P?AB?C的余弦值为?uuuruuur因为PC?AB?(2,3,?1)?(1,?3,0)??1?0，

所以PC与AB不垂直，

所以在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE.

18.（本小题满分14分） 解：

（Ⅰ）设动点M(x,y)，

由抛物线定义可知点M的轨迹E是以N(1,0)为焦点，直线l：x??1为准线的抛物线， 所以轨迹E的方程为y2?4x. （Ⅱ）法1：由题意可设直线l':x?my?n，

??x?my?n,由?2可得y2?4my?4n?0（*），

y?4x??因为直线l'与曲线E有唯一公共点A， 所以??16m2?16n?0，即n??m2. 所以（*）可化简为y2?4my?4m2?0， 所以A(m2,2m)， 令x??1得P(?1,?因为n??m2，

uuuruuur1?n所以NA?NP?(m2?1,2m)?(?2,?)??2m2?2?2?2n?0

m1?n)， m所以NA?NP，

所以点N在以PA为直径的圆C上. 法2：依题意可设直线l':y?kx?b,(k?0)，

??y?kx?b,由?2可得k2x2?2(bk?2)x?b2?0（*），

y?4x??因为直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，

?k?0,?k?0,所以?即?

???0,?bk?1,所以（*）可化简为k2x2?4x?所以A(1?0， 2k12,). k2k1令x??1得P(?1,?k)，

kuuuruuur121?22因为NA?NP?(2?1,)?(?2,?k)?2?2?2?2?0，

kkkkk所以NA?NP，

所以点N在以PA为直径的圆C上.

19.（本小题满分13分） 解：

（Ⅰ）f'(x)?aeax?1，

因为曲线y?f(x)在(0,f(0))处的切线与直线x?2y?3?0垂直， 所以切线l的斜率为2， 所以f'(0)?2， 所以a?3.

（Ⅱ）法1：当a?0时，显然有f(1)?ea?1?0?1，即存在实数x0使f(x0)?1； 当a?0,a?1时，由f'(x)?0可得x?11

ln，aa1111所以在x?(??,ln)时，f'(x)?0，所以函数f(x)在(??,ln)上递减；

aaaa1111x?(ln,??)时，f'(x)?0，所以函数f(x)在(ln,??)上递增

aaaa111所以f(ln)?(1?lna)是f(x)的极小值.

aaa由函数f(x)?eax?x可得f(0)?1， 11由a?1可得ln?0，

aa11所以f(ln)?f(0)?1，

aa综上，若a?1，存在实数x0使f(x0)?1.

（Ⅱ）法2：当a?0时，显然有f(1)?ea?1?0?1，即存在实数x0使f(x0)?1；