《过程检测技术及仪表》习题参考答案
第二章 测量误差与数据处理
1-1 测量某物体的质量 8次，测量列为：236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40（g），试求测量列的算术平均值和标准偏差。
解：采用表格形式进行运算 i 1 2 3 4 5 5 7 8 xi 236.45 236.37 236.51 236.34 236.39 236.48 236.47 236.40 vi ＋0.011 －0.069 ＋0.071 －0.099 －0.049 ＋0.041 ＋0.031 －0.0039 2 Vi0.000121 0.004761 0.005041 0.009801 0.002401 0.001681 0.000961 0.001521 ∑vi2＝0.026288 x?236.439 1n20.026288 s?v??0.0613?g? ?in?1i?18?1
1-2 已知某仪器测量长度的标准偏差为0.005mm，（l）若用该仪器对某轴径测量1次，测量值为26.2025mm，试写出测量结果；（2）若对轴径重复测量10次，测量列为26.2025，26.2028，26.2028，26.2025，26.2026，26.2022，26.2023，26.2025，26.2026，26.2022（mm），试写出测量结果；（3）若未知该仪器测量的标准偏差值，试写出（2）问的测量结果。
解：（1）取单次测量值为测量结果，xm?26.2025mm
已知测量列的标准偏差为测量结果的精密度参数，即????0.005
取置信概率p＝0.9973，按正态分布，置信因子Z＝3， 测量不确定度 ?U??Z???3?0.005??0.015 测量结果写为 x?xm?U?26.202?0.015mm?p?0.9973?
（2）取测量值的算术平均值为测量结果，x?26.2025mm 测量值算术平均值的标准偏差为测量结果的精密度参数，即
???x??n?0.00510?0.00158
取置信概率p＝0.9973，按正态分布，置信因子Z＝3，
??0.0047测量不确定度 ?U??Z???3?0.00158
2-1
测量结果写为 x?x?U?26.202?0.005mm?p?0.9973?
2 Vi（3）采用表格形式进行运算，计算测量值的算术平均值和测量列的标准偏差 i 1 xi 26.2025 26.2028 26.2028 26.2025 26.2026 26.2022 26.2023 26.2025 26.2026 26.2022 vi ＋0.0000 ＋0.0003 ＋0.0003 ＋0.0000 ＋0.0001 －0.0003 －0.0002 ＋0.0000 ＋0.0001 －0.0003 0.00000000 0.00000009 0.00000009 0.00000000 0.00000001 0.00000009 0.00000004 0.00000000 0.00000001 0.00000009 ∑vi2＝0.00000042 x?26.2025 测量列的标准偏差 s?0.00000042?0.000216mm
10?1以算术平均值的标准偏差作为测量结果的精密度参数
??sx?sn?0.00021610?0.0000683
取置信概率p=0.99，自由度γ＝10－1＝9，按t分布确定置信因子，查表得Z?t??3.2498 测量不确定度 ?U??Z???3.2498?0.0000683??0.00022mm 测量结果写为 x?26.2025?0.0002mm?p?0.99?
1-3 对某压力容器的压力进行九次等精度测量，测量列为：1.47，1.50，l.52，1.48，1.55，1.46，1.49，1.51，1.50（MPa）。试判断，该组测量是否存在系统误差？
解：采用表格形式进行数据处理（见下页）。 计算算术平均值
x?1.498MPa
用贝塞尔公式估算测量列标准偏差，得
s?0.005956?0.0273
9?1（1）残余误差校核法：n＝9，则k＝5。
2-2
?vi?15i?0.03，?vi?0.02，?vi??vi?0.03?0.02?0.01?0
i?5i?1i?5959由此可判断测量列无累积性系统误差。 i 1 xi 1.47 1.50 1.52 1.48 1.55 1.46 1.49 1.51 1.50 vi 2 ViSi SiSi+1 vivi+1 －0.000056 ＋0.000044 －0.000396 －0.000936 －0.001976 ＋0.000304 －0.000096 ＋0.000024 －0.028 ＋0.002 ＋0.022 －0.018 ＋0.052 －0.038 －0.008 ＋0.012 ＋0.002 0.000784 0.000004 0.000484 0.000324 0.002704 0.001444 0.000064 0.000144 0.000004 0.005956 －1 ＋1 ＋1 －1 ＋1 －1 －1 ＋1 ＋1 ＋1 －1 ＋1 －1 －1 －1 ＋1 －1 ＋1 －2 2 3 4 5 6 7 8 9 ∑ （2）统计检验法
①误差正负号个数检验准则
误差为正号的有5个，为负号的有4个，统计量S??Si?1，S限差?2n?29?6，
i?1nS?S限差，故可认为不存在系统误差。
②误差正负号分配检验准则
相邻两误差同号的有3个，相邻两误差异号的有5个，统计量W?n?1i?1?SSii?1??2，
W限差?2n?1?29?1?5.66，W?W限差，故可认为不存在系统误差。
③误差数值总和检验准则 统计量D??i?1nvi?0.002，D限差?2ns?29?0.0273?0.164，D?D限差，故
可认为不存在系统误差。
④正误差平方和与负误差平方和之差检验准则
正误差平方和为0.003340，负误差平方和为
0.002616，统计量
K??Si?i?0.003340?0.002616?0.000724,i?1nK限差?4ns2?49?0.02732?0.00894，K?K限差，故可认为不存在系统误差。
⑤阿贝—赫梅特检验准则
2-3
统计量C??vvi?1n?1ii?1??0.003088，C限差?n?1s2?9?1?0.02732?0.002108，
C?C限差，故可认为存在系统误差，且为周期性系统误差。
综合以上，可认为存在系统误差，且为周期性系统误差。
1-4 对某工件的厚度进行了 15次重复测量，测量列为：28.53，28.52，28.50，28.52，28.53，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50（mm），若测量已消除系统误差，试判断，该列测得值中是否含有粗大误差？
解：采用表格形式进行运算。 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 xi 28.53 28.52 28.50 28.52 28.53 28.53 28.50 28.49 28.49 28.51 28.53 28.52 28.49 28.40 28.50 vi 0.026 0.016 －0.004 0.016 0.026 0.026 －0.004 －0.014 －0.014 0.006 0.026 0.016 －0.014 －0.104 －0.004 vi2 0.000676 0.000256 0.000016 0.000256 0.000676 0.000676 0.000016 0.000196 0.000196 0.000036 0.000676 0.000256 0.000196 0.010816 0.000016 0.014960 vi vi2 0.000361 0.000081 0.000121 0.000081 0.000361 0.000361 0.000121 0.000441 0.000441 0.000001 0.000361 0.000081 0.000441 0.000121 0.003374 0.019 0.009 －0.011 0.009 0.019 0.019 －0.011 －0.021 －0.021 －0.001 0.019 0.009 －0.021 －0.011 ①计算xi的算术平均值和标准偏差 x?28.504
1n20.014960 s?v??0.0327 ?in?1i?115?1②取定置信水平α＝0.05，根据测量次数n＝15查出相应的格拉布斯临界系数g0（n，α）
＝2.41，计算格拉布斯鉴别值
〔g0（n，α）〕s＝2.41×0.0327＝0.0788
③将各测量值的残余误差vi与格拉布斯鉴别值相比较，有｜v14｜＝0.104＞0.0788，故可判定v14为粗大误差，x14＝28.40为坏值应予剔除。
④剔除x14后，重新计算测量列的标准偏差。 x?28.511
2-4
1n20.003374 s?v??0.016 1?in?1i?114?1⑤取定置信水平α＝0.05，根据测量次数n＝14查出相应的格拉布斯临界系数g0（n，α）
＝2.37，计算格拉布斯鉴别值
〔g0（n，α）〕s＝2.37×0.0161＝0.0382
⑥将各测量值的残余误差vi与格拉布斯鉴别值相比较，所有残余误差vi的绝对值均小于格拉布斯鉴别值，故已无坏值。
至此，判别结束，全部测量值中仅有x14为坏值，予以剔除。
1-5 将下列各数按化整原则分别截取到百分位和千分位：
2;3;π，6.378501，5.6235，4.51050，7.51051，13.50047，2.1496，1.37851
解： 截取到百分位 截取到千分位 截取到百分位 截取到千分位
2 1.41 1.414 3 1.73 1.732
π 3.14 3.142 6.378501 6.38 6.379 5.6235 5.62 5.624 4.51050 4.51 4.510 7.51051 7.51 7.511 13.50047 13.50 13.500 2.1496 2.15 2.150 1.37851 1.38 1.379
1-6 为求长方体的体积V，先直接测量各边的边长a、b、c，然后进行计算测量结果。直接测量各边边长所得的测得值分别为：a＝161.8mm，b＝44.5mm，c＝11.2mm；各测得值的系统误差分别为：θa＝1.2mm，θb＝0.8mm，θc＝0.5mm；各测得值的标准偏差分别为：ζa＝0.5mm，ζb＝0.3mm，ζc＝0.2mm，试求长方体的体积 V及其系统误差θV和标准偏差ζV。
解：计算长方体的体积
.12?8.064?10mm V?abc?161.8?44.5?11.2?80641计算各传递系数
43?V?bc?44.5?11.2?498.4 ?a?V?ac?161.8?11.2?1812 ?b?V?ab?161.8?44.5?7200 ?c
计算长方体体积的系统误差 ?V??V?V?V?a??b??c?498.4?1.2?1812?0.8?7200?0.5?5648mm3 ?a?b?c计算长方体体积的标准偏差
2-5
??V?2??V?2??V?2?V????a????b????c ?a?b?c???????498.42?0.52?18122?0.32?72002?0.22?1559mm3222
1-7 某一量u由x和y之和求得，x是由16次测量的算术平均值得出，其测量列标准偏差为0.2（单位略）；y是由25次测量的算术平均值得出，其测量列标准偏差为0.3（单位略），试求u的标准偏差。
解：u?x?y
?u?u?1，?1 ?x?y sx?sxnx?20.216?0.05，sy?2syny?0.325?0.06
??u?2??u?222?s?0.05?0.06?0.078 su???sx??y??y??x????
1-8 测量电阻上消耗的电功率P，可以先通过直接测量电阻值R、电阻上的电压降U及通
过电阻的电流I，然后按下面三个式于中的一个来计算电功率：（1）P＝IU；（2）P＝I2R；（3）P＝U2／R。若I、R、U的测量相对不确定度分别为：rI＝2.5％；rR＝l.0％；rU＝2.0％．试选择一种最好的测量方案。
解：先计算各种方案电功率P的测量相对不确定度rP，然后进行比较。 ⑴P?IU
?P?P?U，?I ?I?U22??P?2??P?22222 UP???UI???UU?U?UI?I?UU
??I???U?2U2?UI2?I2?UUUP?UI??UU?rP?????rI2?rU2????2P?IU? ?I??U?22?⑵P?IR
2?2.500?2??2.000?2?3.200?P?P?2IR，?I2 ?I?R22??P?2??P?222242 UP???UI???UR?4IR?UI?I?UR
??I???R?2-6
24I2R2?UI2?I4?UUUP?UI??UR?22rP???4??4r?r????IR2P ?I??R?I2R22??2?4??2.500???1.000??5.1002⑶P?U2R
?P2U?PU2???2 ，?UR?RRU2U4??P?2??P?222 UP???UU???UR?42?UI?4?UR
RR??U???R?22U2U4222242?UU?4?URUUPU????22URRRr???4??4r?r????UR 2 PP?U??R?U2R???4??2.000???1.000??4.10022将三种方案电功率P的测量相对不确定度rP进行比较，第一种方案电功率P的测量相对不
确定度rP最小，因此可以认为第一种方案是最佳测量方案。
1-9 从支点到重心的长度为L的单摆，其振动周期T为
T?2?L g现通过直接测量L和T，根据上式间接测量重力加速度g，若要求测量g的相对标准差ζg／g≤0.1％，试问测量L和T的相对标准差应是多少？
解：这是一个间接测量误差分配的问题。
4?2L g?
T2?g4?2?2
?LT?g8?2L??3 ?TT按等作用原理分配。
2-7
?LL??g2?gL?L?2?g4?2T2?L?g2g??gg2?0.1002?0.07100
?TT??g2?gT?T?2?g8?2LT3?T?g22g??gg22?0.10022?0.03500
即对测量摆长度L的相对标准差要求为0.071%，对测量振动周期T的相对标准差要求为0.035%。
1-10 某数字电压表在其说明书上指出：“该表在校准后的两年内，其2V量程的测量误差不超过±（14×10-6×读数＋1×10-6×量程）V”。在该表校准一年后，用该数字电压表对标称值为1V的电压源进行16次重复测量，得测量值的算术平均值为0.92847V，并根据测量值用贝塞尔公式算得测量列的标准差为36μV。试对测量不确定度做出评定，并给出测量结果。
解：（1）分析和评定各标准不确定度分量 有两个不确定度分量：①由示值误差引起的不确定度分量；②由多次重复测量引起的不确定度分量。
对于①采用B类评定。示值误差为 a＝±（14×10-6×1＋1×10-6×2）V＝±16×10-6 V 可视作均匀分布，则标准不确定度分量为
u1?a3?16?10?63?9.24?10?6V?9.24?V
因给出的示值误差的数据很可靠，故取ζu1／u1＝0，其自由度ν1＝∞。
对于②采用A类评定。由16次测量的数据，用贝塞尔法计算测量列标准差得ζ=36μV，平均值的标准差
?v?3616?8?V
则由多次重复测量引起的标准不确定度为 u2??v?8?V
其自由度ν2＝n－1＝15。 （2）标准不确定度合成
因标准不确定度分量u1、u2相互独立，则相关系数ρ＝0，得合成标准不确定度为
uc?22u1?u2?9.242?82?12.2?V
计算其自由度
2-8
12.24??4??81 444u1u29.248???15?1?2（3）求扩展不确定度
取置信概率p=95％，即显著水平α＝0.05，由自由度ν＝81查t分布表得tα（ν）＝1.995，即包含因子k＝1.995。于是，测量的扩展不确定度为
4ucU?kuc?1.995?12.2?24.3?V
（4）多次重复测量，以算术平均值作为测量结果的估计值。16次测量值的算术平均值v＝0.92847V。
（5）给出测量结果
用合成标准不确定度评定电压测量的不确定度，则测量结果为 V＝（0.928470±0.000012）V
用扩展不确定度评定电压测量的不确定度，则测量结果为
V＝（0.928470±0.000024）V，p=0.95，k=1.995
1-11 电容式位移传感器的位移x与输出电压u的一组测量数据如下： xi／mm ui／V 1 0.1051 5 0.5262 10 1.0521 15 1.5775 20 2.1031 25 2.6287 试求出回归方程，并进行方差分析和显著性检验。
解：为确定两变量间的函数关系，根据数据在坐标纸上描出散点图。从散点图上可以看出，位移x与输出电压u大致成线性关系。
由此可得到回归方程的形式为
u?a0?a1x
式中a0、a1为回归方程的回归系数。
为求得正则方程组，将测量数据及相应的计算列成下面的表格。
i 1 2 3 4 5 6 ∑ x 1 5 10 15 20 25 76 u 0.1051 0.5262 1.0521 1.5775 2.1031 2.6287 7.9927 x2 1 25 100 225 400 625 1376 u2 0.01104601 0.27688644 1.10691441 2.48850625 4.42302961 6.91006369 15.21644641 xu 0.1051 2.6310 10.5210 23.6625 42.0620 65.7175 144.6991 再按下表形式进行计算
2-9
∑xi＝76 ∑ui＝7.9927 1n76x??xi??12.667 ni?16∑xi2＝1376 1n7.9927ui??ui??1.332 ni?16∑ui2＝15.21644641 ∑xiui＝144.6991 ??x?i2n?962.667 ??u?i2n?10.647 ??x???u??101.241iin Lxx＝413.333 a1?Luu＝4.569 Lxu＝43.458 Lxu43.458??0.105 Lxx413.333 a0?u?a1x?1.332?0.105?12.667?0.00197 由此可得回归方程为
u＝a0＋a1x=0.00197＋0.105x 作回归方程的方差分析：求残余标准偏差s s?Q?n?2Luu?a1Lxu4.569?0.105?43.458 ??0.038n?26?2LxuLxxLuu43.458413.333?4.569作回归方程的显著性检验：计算x与u的相关系数 ?xu?a1Lxu?Luu??0.999
取定的显著水平α=1－p=0.01，自由度n－2＝6－2＝4，查t分布表得t??n?2?＝4.6041，求相关系数的临界值
?临界?t??n?2?t??n?2???n?2?2?4.60414.6041??6?2?2?0.9172
?xu??临界，表示x与u之间存在线性关系。
2-10
第3章 检测装置的基本特性
2-1 某压力传感器的静态校准数据如下表所示，试确定该传感器的端基线性度、最小二乘线性度、灵敏度、迟滞和重复性误差。 标准压力（MPa） 0 -2.74 -2.72 -2.71 -2.68 -2.68 -2.67 0.02 0.56 0.66 0.61 0.68 0.64 0.69 0 -2.710 -2.690 -2.70 0.04 3.93 4.05 3.99 4.09 4.02 4.11 0.02 0.603 0.677 0.640 0.06 7.39 7.49 7.42 7.52 7.45 7.52 0.04 3.980 4.083 4.032 0.06 7.420 7.510 7.465 0.08 10.88 10.94 10.92 10.88 10.94 10.99 0.08 10.913 10.937 10.925 0.10 14.42 14.42 14.47 14.47 14.46 14.46 0.10 14.450 14.450 14.450 1 2 3 正行程 反行程 正行程 反行程 正行程 反行程 输入xi／MPa 正行程平均值yti／mV 反行程平均值ydi／mV 正反行程平均值yi／mV 满量程输出值
校准数据（）mV 解：先对校准数据作初步处理，求出各校准点正反行程输出值的平均值等数据，列表于下。 yFS?ym?y0?14.450?2.700?17.150?mV?
①求端基线性度
为了求端基线性度，应先求端基直线方程。 端基直线的斜率
k?ym?y014.450?2.700??171.5?mV/MPa?
xmax?xmin0.10?0端基直线方程为
y?y0?kx??2.700?171.5x?mV?
将每个校准点的输入值x代入上式，求端基直线对应点的计算值。
将每个校准点实际输出的平均值与端基直线对应点计算值，以及偏差值列表。 输入xi／MPa 正反行程平均值yi／mV 端基直线计算值yi／mV 正反行程偏差?i?yi?yi／mV 0 -2.700 -2.700 0.000 0.02 0.640 0.730 -0.090 0.04 4.032 4.160 -0.128 0.06 7.465 7.590 -0.125 0.08 0.10 10.925 14.450 11.020 -0.095 14.450 0.000 从上表所列的偏差值Δi中找出其中绝对值最大的偏差的绝对值Δ
2-11
由此可求出端max＝0.128，
基线性度ef为
ef???maxyFS?10000??0.128?10000??0.700
17.150②求最小二乘线性度
为了求得最小二乘线性度，应先求出最小二乘拟合直线方程。校准点有6个，每个校准点有 6对数据，共有 n＝36对数据。由校准数据可求得
?xi?13636i?1.80
?xi?136i362i?0.132
?yi?1i?208.89
362?xyi?1i?17.6466
1?36?1.8022Lxx??xi???xi??0.132??0.042
3636i?1?i?1?136361.80?208.89Lxy??xiyi??xi?yi?17.6466??7.2021
3636i?1i?1i?136k?LxyLxx36?7.2021?171.48?mVMPa?
0.042x??xi?1i36?1.80?0.05 36y??yi?136i36?208.89?5.8025 36b?y?kx?5.8025?171.48?0.05??2.772?mV?
最小二乘拟合直线方程为
y??2.772?171.48x?mV?
将每个校准点的输入值x代入上式，求最小二乘拟合直线对应点的计算值。 将每个校准点实际输出的平均值与最小二乘直线对应点计算值及偏差列表。（见下页） 输入xi／MPa 正反行程平均值yi／mV 0 -2.700 0.02 0.640 0.04 4.032 0.06 7.465 0.08 10.925 0.10 14.450 2-12
最小二乘直线计算值yi／mV 正反行程偏差?i?yi?yi／mV -2.772 0.072 0.658 -0.018 4.087 -0.055 7.517 -0.052 10.946 -0.021 14.376 0.074 从上表所列的偏差值Δi中找出其中绝对值最大的偏差的绝对值Δ小二乘线性度为
由此可求得最max＝0.074，
ef???maxyFS?10000??0.074?10000??0.400
17.150③求灵敏度
检测装置标定时，常用最小二乘拟合直线的斜率作为检测装置的灵敏度。故灵敏度 k＝171.48mV／MPa ④求迟滞
将每个标定点正行程与反行程实际输出的平均值及它们之间的偏差列表。 输入xi／MPa 正行程平均值yti／mV 反行程平均值ydi／mV 偏差??yti?ydi／mV 0 -2.710 -2.690 0.020 0.02 0.603 0.677 0.074 0.04 3.980 4.083 0.103 0.06 7.420 7.510 0.090 0.08 10.913 10.937 0.024 0.10 14.450 14.450 0.000 从上表所列的偏差值Δ中找出其中的最大偏差值Δ ei?max＝0.246，由此可求得迟滞为
?maxyFS?10000?0.103?10000?0.600
17.150⑤求重复性误差
为求重复性误差，先按下列式子求出每个标定点正反行程输出值的标准偏差?ti和?di。
?ti???yk?1mtik?yti?2m?12??y?y?dikdik?1m
?di?m?1
式中，ytik和ydik分别为第i个标定点正、反行程输出值的第k个标定数据，m为每个标定点正反行程输出值的个数。将计算数据列表。
输入xi 正行程输出值标准偏差ζti 0 0.030 0.02 0.040 2-13
0.04 0.035 0.06 0.030 0.08 0.031 0.10 0.026 反行程输出值标准偏差ζdi 0.026 0.015 0.031 0.017 0.055 0.026 从上表所列的标准偏差值中找出其中最大的标准偏差值ζ＝0.055，取定置信概率P＝0.9973，按正态分布得置信因子Z＝3，则重复性误差为
ez??Z?max3?0.055?10000???10000??100 yFS17.150
2-2 某温度计可视作一阶装置，已知其放大系数k＝1，时间常数η＝10秒。若在t＝0时刻将该温度计从20℃的环境中迅速插入沸水（100℃）中，一分钟后又迅速将其从沸水中取出。试计算该温度计在t＝10，20，50，120，180秒时的指示值。
解：该温度计可视作一阶装置，其放大系数k＝1，时间常数η＝10秒，则其动态方程为
10dy?y?x dt将该温度计从20℃的环境中迅速插入沸水（100℃）中，相当于输入了一个阶跃信号，阶跃信号的幅值为A＝100－20＝80℃。阶跃响应为
t??? ?y?80?1?e10?
????t??? y?20??y?20?80?1?e10?
????10????110???20?801?e?70.57℃ 当t＝10s，y?20?801?e??????20????2?89.17℃ 当t＝20s，y?20?80?1?e10??20?801?e??????50????510???20?801?e?99.46℃ 当t＝50s，y?20?801?e??????60????6?99.80℃ 当t＝60s，y?20?80?1?e10??20?801?e??????当t＝60s时，迅速将温度计从沸水中取出，相当于又输入了一个阶跃信号，阶跃信号的幅
值为A＝20－99.80＝－79.80℃。阶跃响应为
t?60??? ?y??79.80?1?e10?
????t?60??? y?99.80??y?20?79.80?1?e10?
????2-14
120?60????6?20.20℃ 当t＝120s，y?99.80?79.80?1?e10??99.80?79.801?e??????180?60???10???99.80?79.801?e?12?20.00℃ 当t＝180s，y?99.80?79.801?e??????
2-3 用一个一阶检测装置测量频率f＝100Hz的正弦信号，若要求其幅值误差限制在5%以
内，则该检测装置的时间常数η应取多少？在选定时间常数后，用该装置测量频率为50Hz的正弦信号，这时的幅值误差和相位差各是多少？
解：（1）一阶检测装置的幅频特性为
H?j???动态误差为
Yk?
2X1??????Yu?XYu100 ???1000??1?1000??1?2XX?1??????若要求其幅值误差限制在5%以内，则有 1??0 ??1000??11?????22?500?0.05
?1?即 ??????1?0.3287
0.95?? ??0.3287??0.32870.3287??0.000523s 2?f2??100（2）取定η＝0.000523s，幅值误差为
?1???1?2???1??????1??10000??1?2????1?2?f??????10000???1??1?2???1?2??50?0.000523?相位差为
???10000?1.3200??
???arctg??????arctg?2?f??
???9.33???arctg?2??50?0.000523
2-4 一测力系统具有二阶动态特性，其传递函数为
2-15
2?nY H?s?? ?22Xs?2??ns??n已知该系统的固有频率fn＝1000Hz，阻尼比ζ＝0.7。试问用该系统测量频率分别为600Hz和
400Hz的正弦交变力时，相对幅值误差和相位差是多少？对上述频率的信号，输出相对于输入的滞后时间是多少？
解：该系统的幅频特性为
H?j???1????1???????n????2?????4?2?????n?2
????2相对幅值误差为
???Y?XY???0?0? ???100??1??100?00X?X?????相位差为
1????1???????n????2?????4?2?????n?2????2????0 ??1000??????????2?????????n??
???arctg?2?????1???????????n??输出相对于输入的滞后时间为 td?（1）当f＝600Hz，
?360T??360f
?f600???0.6 ?nfn10002-16
???????????1????1???????n????2?????4?2?????n?12????2?????1??10000????
????1?0.62???2??1??10000??5.300??4?0.72?0.62???????2?????????n????arctg?2?0.7?0.6???52.7?
???arctg?2?2??1?0.6??????1?????????n???? td??360f?52.7?0.00024s
360?600（2）当f＝400Hz，
?f400???0.4 ?nfn1000?????1??10000???????????????1????1???????n????2?????4?2?????n?12????2
????1?0.42?????1??10000??0.95002??4?0.72?0.42???????2??????????2?0.7?0.4????arctg??n?2???arctg???33.7? 2??1?0.4?????1???????????n??td??360f?33.7?0.00023s
360?4002-17
第4章 测量电桥
3-1 对图4-2的直流电桥，起始时R1＝R2＝R3＝R4＝R0＝100Ω，E＝5V，RL＝1MΩ，分别计算下列情况的输出电压和非线性误差。
①r1＝10％，R2、R3、R4不变； ②r1＝20％，R2、R3、R4不变； ③r1＝－r2＝10％，R3、R4不变； ④r1＝－r4＝10％，R2、R3不变； ⑤r1＝r2＝10％，R3、R4不变； ⑥r1＝－r2＝－r3＝r4＝10％。
根据以上计算结果，可以归纳出哪些结论？
解：因RL＝1MΩ远大于桥臂电阻，电桥输出端可视作开路。对于等臂电桥，α＝1，非线性因子
??输出电压
UO?非线性误差
????10000
①r1＝10％＝0.1，R2、R3、R4不变，即r2＝r3＝r4＝0 ??r1?r2?r3?r4
r1?r2?r3?r4?21?r1?r2?r3?r4??1???E 4r10.1??0.047 r1?20.1?2 UO?11r1?1???E??0.1??1?0.047??5?0.119V 44 ????10000?0.047?10000?4.7600 ②r1＝20％＝0.2，R2、R3、R4不变，即r2＝r3＝r4＝0 ??r10.2??0.0909 r1?20.2?2 UO?11r1?1???E??0.2??1?0.0909??5?0.227V 44 ????10000?0.0909?10000?9.0900 ③r1＝－r2＝10％＝0.1，R3、R4不变，即r3＝r4＝0 ??r1?r20.1?0.1??0
r1?r2?20.1?0.1?22-18
UO?1?r1?r2??1???E?1??0.1?0.1???1?0??5?0.25V 44 ????10000?0?10000?0 ④r1＝－r4＝10％＝0.1，R2、R3不变，即r2＝r3＝0 ??r1?r40.1?0.1??0
r1?r4?20.1?0.1?2 UO?1?r1?r4??1???E?1??0.1?0.1???1?0??5?0V 44 ????10000?0?10000?0 ⑤r1＝r2＝10％＝0.1，R3、R4不变，即r3＝r4＝0
??r1?r20.1?0.1??0.0909
r1?r2?20.1?0.1?2 UO?1?r1?r2??1???E?1??0.1?0.1???1?0.0909??5?0V 44 ????10000?0.0909?10000?9.0900 ⑥r1＝－r2＝－r3＝r4＝10％＝0.1 ??r1?r2?r3?r40.1?0.1?0.1?0.1??0
r1?r2?r3?r4?20.1?0.1?0.1?0.1?2 UO?1?r1?r2?r3?r4??1???E?1?0.1?0.1?0.1?0.1??5?5V 44 ????10000?0?10000?0
根据以上计算结果，可以归纳出以下结论：
⑴由①、②可见，电桥的输出电压与桥臂电阻的相对变化r的大小有关，r越大，则电桥的输出电压越大，电压灵敏度越高。
⑵由①、③、⑥可见，参与工作的桥臂越多，则输出电压越大，电压灵敏度越高。在同样的电源电压E和桥臂电阻相对变化r下，半桥的输出电压和电压灵敏度约为单臂桥的输出电压和电压灵敏度的两倍；全桥的输出电压和电压灵敏度约为半桥的输出电压和电压灵敏度的两倍。
⑶由⑤可见，若相邻两桥臂电阻发生大小相等、符号相同的相对变化时，则电桥的输出电压为零。
⑷由④可见，若相对两桥臂电阻发生大小相等、符号相反的相对变化时，则电桥的输出电压为零。
⑸由①、②可见，大多数情况下电桥的输出电压UO与桥臂电阻相对变化r之间的关系是非线性的，而且一般电桥的非线性误差是比较大的，桥臂电阻相对变化r越大，非线性误差γ越大。
⑹由③、⑥可见，无论是在半桥还是在全桥的工作方式下，相邻两桥臂电阻发生差动变化，
2-19
且相对变化的绝对值相等，则电桥的输出电压UO与桥臂电阻相对变化r之间的关系是线性的。
3-2 对图4-2的直流电桥，起始时R1＝R2＝R3＝R4＝R0＝100Ω，E＝5V，分别计算下列情况的输出电压。
①RL分别为50、100、200、1000Ω，r1＝10％，R2、R3、R4不变； ②RL＝100Ω，r1分别为1％、5％、10％，R2、R3、R4不变。 根据以上计算结果，可以归纳出哪些结论？
解：当负载电阻RL为有限值时，可得如图所示的等效电路。ETH为电桥的等效电压，它等于电桥的开路输出电压UO，RTH为电桥的等效内阻。
?R2R4ETH????R?RR3?R42?1因只有r1不为零，故
???E?UO ?r1E
2?r1?2? UO?RTH?1?r1?R02R024?3r1 R3R4R1R2?????R0R1?R2R3?R4?2?r1?R02R02?2?r1?负载电阻RL上的电压降UL即为输出电压，由等效电路有
UL?RLRLr1ERLr1E?UO???
4?3rRTH?RL2?r1?2??4?3r1?R0?2?2?r1?RL1R0?RL2?2?r1? ①r1＝10％＝0.1，
UL?RLr1E0.1?5RL0.5RL ???4?3r1?R0?2?2?r1?RL?4?3?0.1??100?2??2?0.1??RL430?4.2RL0.5RL0.5?50??0.0391V
430?4.2RL430?4.2?500.5RL0.5?100??0.0588V
430?4.2RL430?4.2?1000.5RL0.5?200??0.0787V
430?4.2RL430?4.2?2000.5RL0.5?1000??0.108V
430?4.2RL430?4.2?1000RL＝50Ω， UL?RL＝100Ω， UL?RL＝200Ω， UL?RL＝1000Ω， UL? ②RL＝100Ω，
2-20
UL?RLr1E100?5r15r1 ???4?3r1?R0?2?2?r1?RL?4?3r1??100?2??2?r1??1008?5r15r15?0.01??0.00621V
8?5r18?5?0.015r15?0.05??0.0303V
8?5r18?5?0.055r15?0.1??0.0588V
8?5r18?5?0.1r1＝1％＝0.01， UL?r1＝5％＝0.05， UL?r1＝1％＝0.1， UL?根据以上计算结果，可以归纳出以下结论：
⑴由①可见，输出电压与负载电阻RL的大小有关，RL越大，则输出电压越大，电压灵敏度越高。
⑵由②可见，输出电压与桥臂电阻的相对变化r的大小有关，r越大，则输出电压越大，电压灵敏度越高。
⑶由②可见，输出电压UO与桥臂电阻相对变化r之间的关系是非线性的。
第5章 弹性敏感元件与电阻式传感器
4-1 某线绕线性电位器采用圆柱形骨架，骨架直径为D＝10mm，长度L＝100mm，漆包电阻线直径d＝0.1mm，电阻率ρ＝0.6×10-6Ω·m，总匝数W＝1000。试计算该电位器的空载电
2-21
阻灵敏度dR／dx。
解：漆包电阻线的长度l＝πDW，截面积A＝πd2／4。 漆包电阻线的电阻
4?DW4?0.6?10?6?0.01?1000 R????2400? 22Ad?1?0.0001??l漆包电阻线均匀绕制在骨架上，电位器的空载电阻灵敏度 KR?dRR2400???24?mm dxL100
4-2 某位移检测装置采用两个相同的线性电位器，如图5-53所示，图中虚线表示电位器的电刷滑动臂。电位器的总电阻值为R0，总工作行程为L0。当被测位移x变化时，带动这两个电位器的电刷一起滑动。若采用电桥测量电路，请画出该电桥的连接电路。若电桥的激励电源电压E＝10V，R0＝5000Ω，L0＝100mm，当被测位移的测量范围为10～90mm时，电桥的输出电压范围是多少？
解：电桥的连接电路如图所示，即将电位器的AP1段作为R1，P1B段作为R2，CP2段作为R4，P2D段作为R3，A与D连接，B与C连接，电桥的激励电源接入A（D）与B（C）间，显示仪表接在P1与P2间。
R1?R4??L0?xxR0??1??L0L0?xR0 L0???R0 ? R2?R3?电桥的输出电压
?x?2?x??1?R0?????LL0?R1R4?R2R3??0E? UO??R1?R2??R3?R5?R0?R0当x＝10mm时
2?2??R0?2x???E??1?E ??L0??2 UO??1???10?8V ?1?L??E??100??0??当x＝50mm时
UO??1???10?0V ?1?L??E??100??0??当x＝90mm时
2-22
?2x??2?10??2x??2?50? UO??1???10??8V ?1?L??E??100??0??当被测位移的测量范围为10～90mm时，电桥的输出电压范围是8V～－8V。
4-3 一材料为钢的实心圆柱形试件，在其圆柱表面沿轴向和圆周向各粘贴一片电阻值为120Ω的金属电阻应变片，如图所示。已知试件的直径d＝10mm，材料的弹性模量E＝2×1011N／m2，泊松比μ＝0.285，应变片的灵敏系数k＝2，横向效应系数H＝4％。
（1）当试件受到拉伸力F＝3×104N作用时，应变片的电阻相对变化 ΔR／R为多少？
（2）若将这两片应变片接入半桥电路中，电桥的电源电压U＝5V，试求电桥的输出电压Uo。
解：（1）实心圆柱形试件在受拉伸力F作用时，其圆柱表面所产生的轴向应变εa和圆周向应变εt分别为
?a??2x??2?90?4F 2?dE4?F 2?dE ?t????a??应变片的纵向应变灵敏系数Kx＝K，横向应变灵敏系数Ky＝HK。
沿轴向粘贴的应变片R1，其所承受的纵向应变εx＝εa，横向应变εy＝εt，应变片的电阻相对变化量
r1?
?R1?Kx?x?Ky?y?K?a?HK?t?K?1?H???aR04K?1?H??F4?2??1?0.04?0.285??3?104?3???3.776?102?d2E??10?2?2?1011
??沿圆周向粘贴的应变片R2，其所承受的纵向应变εx＝εd，横向应变εy＝εt，应变片的电
阻相对变化量
r2?
?R2?Kx?x?Ky?y?K?t?HK?a?K?H????aR04K?H???F4?2??0.04?0.285??3?104?4????9.36?102?d2E??10?2?2?1011
??（2）将这两片应变片接入半桥电路中，因r1、r2＜＜1，故电桥的输出电压
?137.76?9.36??10?4?5?0.00588V?5.88mV Uo??r1?r2?U?44
4-4 一台电子秤的荷重传感器采用如图（a）所示等强度悬
臂梁金属电阻应变式传感器。已知等强度悬臂梁的长度b＝
2-23
100mm，基部宽度w0＝11mm，厚度t＝3mm，材料的弹性模量E＝2×1011N／m2。在等强度悬臂梁的上、下表面各粘贴两片金属电阻应变片，应变片的初始电阻值R0＝60Ω，应变灵敏系数k＝l.95。
（1）将应变片接入测量电桥，电桥的供电电压U＝6V，试求该电子秤的电压灵敏度k（电压灵敏度ku是指单位重量的输出电u压）。
（2）桥路的输出送到一个放大器放大后，再送入显示仪表指示被测重量值，如图（b）所示。已知放大器的输入阻抗为1MΩ，
输出阻抗为100Ω；显示仪表的输入阻抗为100Ω，灵敏度为 2mV／Kg，刻度范围为0～10Kg，试求放大器的放大倍数应为多少？
解：（1）重量为Q的物体置于电子秤上时，等强度悬臂梁自由端受重力F＝Qg的作用，梁上各点所产生的沿长度方向的应变为
?x??6Fb6Qgb ??Ew0t2Ew0t2x的作用下，粘贴在上、下表面的应
上表面的应变为正值，下表面的应变为负值。在应变ε
变片的电阻值相对变化量为
r??R6KQgb ?K?x??2R0Ew0t四片应变片接成全桥，则桥路的输出电压为 Uo?rU?电压灵敏度
6KQgbU
Ew0t2ku?
dUo6KgbU?dQEw0t26?1.95?9.81?0.1?6?0.00348VKg?3.48mVKg1122?10?0.011?0.003
?（2）由于放大器的输入阻抗ri＝1MΩ远大于电桥的内阻，电桥的输出端可近似视作开路，电桥的输出电压Uo可视作放大器的输入电压U1，即U1＝Uo。
重量为Q的物体置于电子秤上时，电桥的输出电压Uo＝kuQ，即U1＝Uo＝kuQ。
显示仪表的灵敏度km＝2mV／Kg，显示仪表指示到被称物体的重量值Q所需的输入电压Um＝km Q。
放大器与显示仪表连接的等效电路如图所示，图中，U2为放大器的输出电压，ro为放大器的输出阻抗，rm为显示仪表的输入阻抗。由等效电路图有
2-24
Um?rmU2
ro?rmro?rmr?rUm?omkmQ rmrmU2??ro?rm?rm?kmQ??ro?rm?rm?km??U1kuQku故有 U2?放大器的放大倍数
ka????100?100?100??2?1.1493.48
4-5 有一测量吊车起吊物重量的力传感器如图所示，它由若干片金属电阻应变片粘贴在等截面短轴的表面上构成。己知等截面短轴的直径为d＝10cm，材料的弹性模最为E＝2×1011 N／m2，泊松比为μ＝0.3，金属电阻应变片的电阻值为R0＝120 Ω，灵敏系数为k＝2，横向效应系数为H＝3％。 （1）为了得到较高的灵敏度和较小的温度误差，应采用几片应变片？应变片应粘贴在哪个位置？为什么？
（2）将应变片接入测量电桥，电桥的电源电压U＝8V，试求传感器的电压灵敏度。
（3）若电桥的输出电压为 2.5mV，试求被测重物的重量。
解：（1）为了得到较小的温度误差，应采取温度补偿措施。对于一般
的金属电阻应变片，主要的温度补偿措施是桥路补偿法。为了实现桥路补偿，应采用偶数片应变片。为了得到较高的灵敏度，应使尽可能多的桥臂参与工作，故采用四片应变片以构成全桥。为了进一步提高灵敏度，粘贴应变片的位置应使得接入相邻桥臂的应变片所承受的应变的差值尽可能大，最好是所承受的应变符号相反。为此，四片应变片应粘贴在等截面轴的圆柱表面，并使两片应变片沿等截面轴的轴向粘贴，两片应变片沿等截面轴的圆周向粘贴，如图所示。
（2）等截面轴在受重物的重力F＝Qg的拉伸作用下所产生的轴向应变εa和圆周向应变εt分别为
4F4Qg? 22?dE?dE4?F4?Qg?? ?t????a?? ?d2E?d2E ?a?沿轴向粘贴的应变片R1、R3，其所承受的纵向应变εx＝εa，横向应
变εy＝εt，应变片的电阻相对变化量
r1?
?R1R0?r3??R3R0?Kx?x?Ky?y?K?a?HK?t?K?1?H???a
?4K?1?H??Qg?d2E2-25
沿圆周向粘贴的应变片R2、R4，其所承受的纵向应变εx＝εd，横向应变εy＝εt，应变片的电阻相对变化量
r2?
?R2R0?r4??R4R0?Kx?x?Ky?y?K?t?HK?a?K?H????a
?4K?H???Qg?d2E将这四片应变片接入全桥电路中，因r1、r2、r3、r4＜＜1，故电桥的输出电压 Uo?1?r1?r2?r3?r4?U?1?r1?r2?U?2K?1?H??2??H?QgU 42?dE电压灵敏度
ku?
dUo2K?1?H????H?gU?dQ?d2E
2?2??1?0.03?0.3?0.3?0.03??8?5??6.30?10VKg?6.30?10mVKg211??0.1?2?10 （3）Uo?kuQ Q?
Uo2.5??3.97?104Kg ?5ku6.30?10 4-6 一金属电阻应变式压力传感器的弹性敏感元件为如图所示的
周边固定的圆形膜片，膜片的半径为a，两片相同的金属电阻应变片分别粘贴在膜片圆心和离圆心径向距离为x处，应变片的长度为L，且不可忽略。
（1）若要求两片应变片的电阻相对变化量的绝对值相等，即｜ΔR1／R1｜＝｜ΔR2／R2｜，试求这时的x。
（2）若己知 a＝30mm，L＝5mm，试求这时的 x值。 解：（1）两应变片沿着径向粘贴，其所承受的纵向应变为膜片的径向应变，横向应变可略。膜片受压力p作用而产生的径向应变为
?r?3p2221??a?3x 28Eh????因应变片的长度不可忽略，应变片上各处所受的应变是不同的，因此应用应变片所受的平均应变来计算。
粘贴在圆心处的应变片R1所受的平均应变为
1?L23p1??2?r1???rdx?L?L28Eh2L?????L2?L23p1??2?212?a?3xdx??a?L? 24?8Eh?22???粘贴在离圆心径向距离为x处的应变片R2所受的平均应变为
2-26
?r21x?L23p1??2???rdx?Lx?L28Eh2L????x?L2x?L23p1??2?2122?a?3xdx?a?L?3x??
48Eh2??22???要满足
?R1R1??R2R22，则要求?r1???r2，即要求
a?对上式整理后得
121L?3x2?L2?a2 44 3x?212L?2a2?0 2求解，得 x?2212a?L 3621?302??52?24.41mm 36（2）将数字代入 x?
第6章 电感式传感器与电容式传感器
5-1 有一只螺管型差动自感式传感器如图（a）所示。传感器线圈铜电阻R1＝R2＝40Ω，电感L1＝L2＝30mH，现用两只匹配电阻设计成等臂阻抗电桥，如图（b）所示。
2-27
求：
（1）匹配电阻R3和R4值为多大才能使电压灵敏度达到最大值？
（2）当ΔZ＝10Ω时，电源电压为4V，f＝400 Hz，求电桥输出电压值Uo是多少？ 解：（1）匹配电阻R3和R4的值等于接入传感器的桥臂阻抗值时，电压灵敏度达到最大值。 （2）设R1＝R2＝R＝40Ω，L1＝L2＝L＝30mH，则
Z10?Z20?Z0?R?j?L
R3?R4?Z0?R2???L??R2??2?fL?22?402??2???400?0.03??85.35?2
Uo?
?Z0??Z?R3??Z0??Z?R4Z1R3?Z2R4U?U?Z1?Z2??R3?R4??Z0??Z?Z0??Z??R3?R4??Z10?4?U??0.234V2Z02?85.35
5-2 如图所示，E型差动变压器作为机电转换装置。
已知初始气隙δ1＝δ2＝δ0＝1mm，气隙截面积S1＝S2＝S0＝1cm2，一次侧电源电压U＝10 V，f＝400 Hz，一、二次线圈匝数分别为N1＝1000匝，N2＝2000匝，设中间活动衔铁向右移0.lmm。试求该传感器二次线圈输出电压Uo及一次线圈侧电流I1的值。
解：磁路可用电路来类比，即等效磁路可用等效电路来模拟。由于铁芯和衔铁的磁导率很大，磁阻很小可忽略不计，该传感器的等效磁路如图所示。图中Rm0为气隙δ0的磁阻；Rm1为气隙δ1的磁阻；Rm2为气隙δ2的磁阻。
Rm0??0??；Rm1?1；Rm2?2。 ?0S?0S?0SRm1Rm2?1?2?1??? ???0??Rm1?Rm2?0S??1??2?根据等效磁路图，初级线圈磁路的总磁阻为
Rm?Rm0?设衔铁自中间位置向左位移Δx，则δ1＝δ0－Δx，δ2＝δ0＋Δx，代入上式
1Rm??0SN12 L1?Rm???0??x???0??x??1??02??x2?3?02??x2?? ?0????0???????0??x????0??x???0S?2?0?2?0?0S?初级线圈的电感
2-28
通过初级线圈的电流
URm3?02??x2UU I1???22?L1?N12?0?0S?N1两个次级线圈磁路的总磁阻分别为
????Rm0?Rm1?Rm11??0??1??1?2?0??x? ?0S?0S1??0??2??1?2?0??x? ?0S?0S??Rm0?Rm2?Rm2初级线圈与两个次级线圈的互感分别为
M1?NN?SN1N2N1N2?0SNN， M2?12?120 ??1?2Rm2?0??xRm2?0??x因两个次级线圈反向串连，次级的输出电压为
Uo??I1?M1?M2?
将I1、M1、M2代入，得
Uo?3??????N2?x3?02??x2??x2U11??N1N2?0S??2???N?4?2??x2U 2???x2???x2?0?0S?N10?0?1002?????将有关数据代入，得
2000?0.1?3?12?0.12?10Uo??1.499?V? 221000?1?4?1?0.1????通过初级线圈的电流
I1?3?????x2U3?02??x2U?2?0?0S?N124??0?0SfN1220????0.1?10?10?47.33mA4???4??10?7?10?3?10?4?400?10002?3?122??6
5-3 差动电感式压力传感器原理示意如图所示。其中上、下两电感线圈对称置于感压膜片两侧，当p1＝p2时线圈与膜片初始距离均为D，当p1≠p2时膜片离开中心位置产生小位移d，则每个线圈磁阻力Rm1＝Rm0＋K（D＋d）或Rm2＝Rm0＋K（D－d），式中Rm0为初始磁阻，K为常系数。如图所示，当差动线圈接入桥路时，试证明该桥路在无负载情况下其输出电压Uo与膜片位移d成正比。
2-29
解：两线圈电感分别为
N2N2 L1??Rm1Rm0?K?D?d?N2N2 L2? ?Rm2Rm0?K?D?d?两线圈阻抗分别为 Z1?j?L1?Rm0j?N2
?K?D?d?j?N2
?K?D?d? Z2?j?L2?Rm0桥路在无负载情况下的输出电压 Uo?Z1R?Z2RZ?Z2Us?1Us
?Z1?Z2??2R2?Z1?Z2??KdUs
??2Rm0?KD 将Z、Z的表达式代入上式，整理后得 Uo?由上式可见，该桥路在无负载情况下其输出电压Uo与膜片位移d成正比。
5-4 图所示为差动自感传感器测量电路。L1、L2是差动电感，D1～D4是检波二极管（设其正向电阻为零，反向电阻为无穷大），C1是滤波电容，其阻抗很大，输出端电阻R1＝R2＝R，输出端电压由C、D引出为eCD，Up为正弦波信号源。求：
（1）分析电路工作原理（即指出铁心移动方向与输出电压eCD极性的关系）。
（2）分别画出铁心上移及下移时流经电阻R1和R2的电流iR1和iR2及输出端电压eCD的波形图。
解：在恒压交流信号源UP的正半周，D2、D4导通，D1、D3截止。流经电阻R1的电流iR1
的途径为：E点→L2→B点→D4→C点→R1→F点（地）；流经电阻R2的电流iR2的途径为：E点→L1→A点→D2→D点→R2→F点（地）。
输出端电压
eCD?iR1R1?iR2R2??iR1?iR2?R
当铁心处于中间位置时，L1＝L2，ZL1＝ZL2，则有iR2＝iR1，eCD＝0。 当铁心上移时，L1＞L2，ZL1＞ZL2，则有iR2＜iR1，eCD＞0。
2-30
当铁心下移时，L1＜L2，ZL1＜ZL2，则有iR2＞iR1，eCD＜0。
在恒压交流信号源UP的负半周，D1、D3导通，D2、D4截止。流经电阻R1的电流iR1的途径为：F点（地）→R1→C点→D1→A点→L1→E点；流经电阻R2的电流iR2的途径为：F点（地）→R2→D点→D3→B点→L2→E点。
输出端电压
eCD??iR1R1?iR2R2??iR2?iR1?R
当铁心处于中间位置时，L1＝L2，ZL1＝ZL2，则有iR1＝iR2，eCD＝0。
当铁心上移时，L1＞L2，ZL1＞ZL2，则有iR1＜iR2，eCD＞0。
当铁心下移时，L1＜L2，ZL1＜ZL2，则有iR1＞iR2，eCD＜0。
综合以上分析，无论在恒压交流信号源UP的正半周或负半周，当铁心处于中间位置时，eCD＝0；当铁心上移时，eCD＞0；当铁心下移时，eCD＜0。
铁心在中间位置、上移及下移时流经电阻R1和R2的电流iR1和iR2
及输出端电压eCD的波形图如图所示。
5-5 用一电涡流式测振仪测量某机器主轴的轴向振动。已知传感器的灵敏度为20mV／mm，最大线性范围为5mm。现将传感器安装在主轴两侧，如图（a）所示，所记录的振动波形如图（b）所示。请问：
（1）传感器与被测金属的安装距离L为多少时测量效果较好？ （2）轴向振幅的最大值A为多少？
（3）主轴振动的基频f是多少？ 解：（1）为保证输出信号与轴向振动位移成线性关系，传感器与被测金属的安装距离L＜5mm时测量效果较好。
（2）由图（b）可知，所记录的振动波形的峰－峰值为40mV，而传感器的灵敏度为20mV／mm，故轴向振幅的最大值
A?40?2mm 20（3）由图（b）可知，所记录的振动波形的两个周期为40ms，即一个周期为20ms，故主轴振动的基频
f?1?50Hz
20?10?32-31
5-6 现有一只电容式位移传感器，其结构如图所示。已知：L＝25 mm，R＝6mm，r＝4.5 mm。其中圆柱 C为内电极，圆筒 A、B为两个外电极，D为屏蔽套筒，CBC构成一个固定电容CF，CAC是随活动屏蔽套筒伸入位移量x而变的可变电容Cx。采用如图3-15所示的运算测量电路，其信号源电压有效值E＝6 V。问：
（1）在要求输出电压Usc与输入位移x成正比时，画出测量电路原理图，标出CF和Cx在图中应连接的位置；
（2）求该电容传感器的输出电容—位移灵敏度Kc；
（3）求该测量变换系统输出电压一位移灵敏度Kv； （4）固定电容的作用是什么？
解：（1）为满足输出电压Usc与输入位移x成正比的关系，将CF接入反馈回路，CX接在输入回路，如图所示。这时有
USCZC??F??X USRZXCFCXUSR CF因此有 USC??而CX?2??0?L?x?2??0L，CF?，将CX、CF代入上式，得
ln?Rr?ln?Rr?L?xUSR L USC??由此可见，输出电压Usc与输入位移x成正比的关系。 （2）由CX?2??0?L?x?求输出电容—位移灵敏度 ln?Rr?2??0dCX2???13.6????????1.9pFcm??0.19pFmm
dxln?Rr?ln?64.5?L?xUSR求输出电压一位移灵敏度 L Kc?（3）由USC?? Ku?dUSCUSR6???0.24Vmm dxL25（4）CF为参比电容，输出电压Usc与CX和CF的比值成比例关系，由于CF是一个固定电容，
因而使输出电压Usc与CX成比例关系。而且，由于CF与CX的结构完成相同，它们相比时，某些结构参数可消去，从而使计算更为简便。 5-7 有一平面直线位移型差动电容式传感器，其测量电路采用变压器交流电桥，结构及电
2-32
路如图所示。电容式传感器的极距d＝2mm，极板宽度b1＝b2＝b0＝20mm。起始时，a1＝a2＝a＝10mm。极间介质为空气。测量电路的初级电压ui＝3sinωt（V），次级电压 u＝ui。试求当动极板左、右移动Δx＝5mm时，电桥的输出电压uo。
解：平面直线位移型差动电容式传感器的起始电容量
C?0b0a10?C20?C0?d
当动极板向左移动Δx时， C1?C0??C??0b0?a??x??C??d?1?x?0?a??
C?0b0?a??x?2?C0??C?d?C??x?0??1?a??
变压器电桥的输出电压 uC2?C1o1?Cui
2?C1将C1、C2和ui代入，得 u?xo1??au5i??10?3sin?t??1.5sin?t 当动极板向右移动Δx时， C?a??x?1?C0??C??0b0?C??x?d0??1?a??
C??x?2?C?0b0?a0??C?d?C??x?0??1?a??
将C1、C2和ui代入变压器电桥的输出电压表达式，得 uo2??xau?5i10?3sin?t?1.5sin?t
5-8 如图所示，圆筒形金属容器中心放置一个带绝缘套管的圆柱形电极用来测介质液位。绝缘材料相对介电常数为ε1，被测液体相对介电常数为ε2，液面上方气体相对介电常数为ε3，电极各部位尺寸如图所示，并忽略底面电容。求：当被测液体为导体及非导体时的两种情况下，分别推导出传感器特性方程CH＝f（H）
解：根据题意画出该测量系统等效电路如左图所示。其中C1和C2分别为绝缘套在电极上、下两部分形成的电容，C2为液面上方气体在容器壁与绝缘套管外表面间形成的电容，C4为被测液体在容器壁与绝缘套管外表面间的电容。
2-33
设被测液位最低点与容器底部的高度为L0，L1＝L－L0。 根据同心圆筒电容计算公式可得各电容表达式分别为 C1?2??3?L1?H?2??1?L1?H?； C2?；
ln?D1d?ln?DD1?2??1H2??2H； C4?。
ln?D1d?ln?DD1? C3?当被测液体为非导体时，则有
CH?C1//C2?C3//C4
? 2??1?3?L1?H?2??1?2H??A?BH?1ln?DD1???3ln?D1d??1ln?DD1???2ln?D1d?式中，A?2??1?3L1
?1ln?DD1???3ln?D1d?2??1?32??1?2 ??1ln?DD1???3ln?D1d??1ln?DD1???2ln?D1d? B?当被测液体为导电体时，C4＝0，则有
CH?C1//C2?C3
2??1?3?L1?H?2??1H???A?BH?1ln?DD1???3ln?D1d?ln?D1d?式中，A?2??1?3L1
?1ln?DD1???3ln?D1d?2??1?32??1 ?ln?D1d??1ln?DD1???3ln?D1d? B?
第7章 热电式传感器
6-1 某热电阻温度计的显示仪表是按起始电阻值为R0＝100Ω，电阻温度系数α＝4.28×10-3
／℃的铜热电阻来分度的。但实际所用的铜热电阻的起始电阻值为R＝98.62 Ω，电阻温度系数α＝4.25×10-3／℃。当仪表的指示值为80℃时，实际的被测温度是多少？
解：设实际的被测温度为t℃。
当仪表的指示值为80℃时，对应的热电阻电阻值为Rt＝R0（1＋80α）。而热电阻电阻值与实际的被测温度t的关系为Rt＝R0实（1＋α实t），因此有
2-34
R0（1＋80α）＝R0实（1＋α实t）
t＝〔R0（1＋80α）／R0实－1〕／α实
＝〔100×（1＋80×4.28×10-3）／98.62－1〕／4.25×10-3 ＝84.98℃ 6-2 某负电阻温度系数热敏电阻的R0＝5080Ω、B＝2700K，若它的测温范围为－20～50℃，试计算其相应的电阻值变化范围。
解：负电阻温度系数热敏电阻的电阻值与温度的关系式为
??11??RT?R0exp?B??T?T???
0???? 参考温度T0＝273.15+25＝298.15K
当t＝－20℃时，T＝273.15－20＝253.15K，代入上式可求得RT＝25408Ω。 当t＝50℃时，T＝273.15＋50＝323.15K，代入上式可求得RT＝2521Ω。 即在测温范围－20～50℃内，其相应的电阻值变化范围为25408～2521Ω。 6-3 用K型热电偶和显示仪表配套测温，显示仪表的机械零点调整在t0＝20℃处，若冷端温度t0 ＇＝30℃，仪表的指示值 t＇＝860℃，求热端的实际温度t。
解：热电偶回路产生的热电势为E（t，t0＇），显示仪表的指针由机械零点t0移动到指示值t＇所需的热电势为E（t＇，t0），显示仪表所接受的热电势即为热电偶回路产生的热电势，因此有
E（t，t0＇）＝E（t＇，t0） 根据中间温度定律，上式可写为 E（t，0）－E（t0＇，0）＝E（t＇，0）－E（t0，0） 故有 E（t，0）＝E（t＇，0）－E（t0，0）＋E（t0＇，0） ＝E（860，0）－E（20，0）＋E（30，0） 查分度表，将以上热电势值查出，并代入上式
E（t，0）＝35.718－0.798＋1.203＝36.123mV 按E（t，0）查分度表求出热端的实际温度t t?870?36.123?36.121?10?870.05℃
36.524?36.1216-4 用K型热电偶、显示仪表和相应的补偿导线配套组成测温系统测量加热炉的炉温，热电偶与补偿导线的连接点温度为20℃，补偿导线与显示仪表的连接点温度为30℃，显示仪表的机械零点调整在0℃的位置，显示仪表的指示值为980℃。后来发现，由于工作疏忽，把补偿导线的极性接反了。问加热炉的实际炉温是多少？由于补偿导线接反而引起的附加误差是多少？
解：由于补偿导线的极性接反了，热电偶回路产生的热电势为E（t，20）－E（20，30）。 显示仪表的指针由机械零点移动到指示值所需的热电势为E（980，0），显示仪表所接受的热电势即为热电偶回路产生的热电势，因此有
E（t，20）－E（20，30）＝E（980，0） 根据中间温度定律，上式可写为
E（t，0）－E（20，0）－E（20，0）＋E（30，0）＝E（980，0） 故有 E（t，0）＝E（980，0）＋2× E（20，0）－E（30，0） 查分度表，将以上热电势值查出，并代入上式
E（t，0）＝40.488＋2×0.798－1.203＝40.881mV 按E（t，0）查分度表求出热端的实际温度t
2-35
t?980?40.881?40.488?10?989.61℃
40.897?40.488若补偿导线的极性没有接反，热电偶回路产生的热电势为E（t′，30），因此有
E（t′，30）＝E（980，0）
根据中间温度定律，上式可写为
E（t′，0）－E（30，0）＝E（980，0）
故有 E（t′，0）＝E（980，0）＋E（30，0） 查分度表，将以上热电势值查出，并代入上式
E（t′，0）＝40.488＋1.203＝41.691mV
按E（t，0）查分度表求出热端的温度t′ t??1010?41.691?41.657?10?1010.88℃
42.045?41.657由于补偿导线接反而引起的附加误差
?t?t??t?1010.88?989.61?21.27℃
6-5 某测温系统由K型热电偶、补偿导线、冷端温度补偿器和显示仪表配套组成。已知冷端温度补偿器的平衡温度为20℃，显示仪表的机械零点调整在0℃处。现用该测温系统测量某加热炉的炉温，显示仪表指示的温度为758℃，当时冷端温度补偿器所处的温度为35℃。后来发现错用了分度号为s的冷端温度补偿器。问加热炉的实际温度是多少？
解：热电偶产生的热电势为EK（t，35），冷端温度补偿器产生的电势为ES（35，20），整个热电偶回路产生的电势为EK（t，35）＋ES（35，20）。
显示仪表的指针由机械零点移动到指示值所需的热电势为EK（758，0），显示仪表所接受的热电势即为热电偶回路产生的热电势，因此有
EK（t，35）＋ES（35，20）＝EK（758，0） 根据中间温度定律，上式可写为
EK（t，0）－EK（35，0）＋ES（35，0）－ES（20，0）＝EK（758，0） 故有 EK（t，0）＝EK（758，0）＋EK（35，0）－ES（35，0）＋ES（20，0） 查分度表，将以上热电势值查出，并代入上式
EK（t，0）＝31.546＋1.407－0.204＋0.133＝32.882 按EK（t，0）查分度表求出热端的实际温度t t?790?
32.882?32.866?10?790.39℃
33.277?32.8662-36