可得a32＝a2（1+S4），

即（﹣1+2d）2＝（﹣1+d）（﹣3+6d）， 可得d＝2， 则an＝2n﹣3；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得T2n＝﹣a1+a2﹣a3+a4+…﹣a2n﹣1+a2n ＝（1+1）+（﹣3+5）+…+（5﹣2n+2n﹣3） ＝2+2+…+2＝2n．

18．某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80，100的为一等品；指标在区间[60，80）的为二等品．现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：

（1）若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；

（2）将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体．若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，记3件零件中所含一等品的件数为X，求X的分布列及数学期望．

【分析】（1）由频率分布直方图求出对应的频率和频数，再计算所求的概率值； （2）由题意知随机变量X～B（3，），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．

解：（1）由甲种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知， 这100件样本零件中有一等品：（0.04+0.03+0.01）×5×100＝40（件）， 二等品：100﹣40＝60（件），

所以按等级，利用分层抽样的方法抽取的10件零件中有一等品4件，二等品6件．

记事件A为“这10件零件中随机抽取3件，至少有1件一等品”， 则P（A）＝1﹣

＝； ……………………………………………………………

（2）由乙种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知， 这100件样本零件中，一等品的频率为（0.04+0.06+0.04+0.02）×5＝0.8， 二等品的频率为0.2；

将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体，

则从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，其中所含一等品的件数X～B（3，）， 所以P（X＝0）＝P（X＝1）＝P（X＝2）＝P（X＝3）＝

???

?

???

?

＝＝＝

＝， ， ；

，

∴X的分布列为：

X P

0

1

2

3

所以数学期望为E（X）＝3×＝． ………………………………

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB＝AB＝AD＝3，BC＝1．

（1）在PD上是否存在一点F，使得CF∥平面PAB，若存在，找出F的位置，若不存在，请说明理由；

（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小．

【分析】（1）方法①：证明PB⊥BC，结合AD⊥AB，推出AB⊥BC，以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

假设在PD上存在一点F，使得CF∥平面PAB，设向量为

，通过CF∥平面PAB，解得

，求出平面PAB的一个法，得到结果．

方法②：存在，F在线段PD上，且，证明，过F点作FH∥AD交PA于H，

连接BH，说明四边形HFCB为平行四边形，推出CF∥BH，然后证明CF∥平面PAB．（2）求出平面PAD的法向量，平面PBD的法向量，通过空间向量的数量积，转化求解二面角B﹣PD﹣A的大小即可．

解：（1）方法①：∵PB⊥平面ABCD，BC?平面ABCD， ∴PB⊥BC，

又AD⊥AB，AD∥BC， ∴AB⊥BC，

则可以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 假设在PD上存在一点F，使得CF∥平面PAB， 设

，

，

由P（0，0，3），D（3，3，0），得由

可得F（3λ，3λ，3﹣3λ），

．

又C（1，0，0），故易知：BC⊥平面PAB， 故可取平面PAB的一个法向量为若CF∥平面PAB，则故在BC上存在点F，当方法②：

，解得

，

，

时，有CF∥平面PAB．

存在，F在线段PD上，且，证明如下

过F点作FH∥AD交PA于H，连接BH， 当

时，

，

又AD∥BC且BC＝1， ∴HF∥BC且HF＝BC， ∴四边形HFCB为平行四边形， ∴CF∥BH，

∵BH?平面PAB，CF?平面PAB， ∴CF∥平面PAB．

（2）由（1）可知B（0，0，0），P（0，0，3），D（3，3，0），A（0，3，0）， ∴

设平面PAD的法向量

，

，

则即，

令z1＝1，则y1＝1，x1＝0， 此时

＝（0，1，1），

，

设平面PBD的法向量

则，即

令x2＝1，则y2＝﹣1，z2＝0， 此时

，