2020年湖南省长沙一中等八校联考高考数学模拟试卷（理科）（5月份）

题号 得分 一 二 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. a为正实数，i为虚数单位，

，则a=（ ）

三 总分 A. 2

2. 已知集合A={x∈Z|

B.

C.

D. 1

∈Z}，B={x|x2-4x-5≤0}，则A∩B=（ ）

A. {-1，0，1，3} B. {-1，0，1，2} C. {-1，0，1} D. {0，1，2，3}

3. 如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）

A. 2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个

B. 与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长 C. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元

D. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省

4. 设0≤x≤2π，且

=sinx-cosx，则（ ）

A. 0≤x≤π B.

C.

D.

5. 设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：

①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z?x∥y”为真命题的是（ ）

A. ③④

6. 已知函数

的值为( ) A. 2

B. ①③

是R上的偶函数，

C. ②③

是R上的奇函数，且

D. ①②

，若

，则

B. 0 C.

D.

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7. 若的展开式中含有常数项，且n的最小值为a，则=（ ）

A. 36π B.

C.

D. 25π

8. 已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度

|×|=||||sinθ，若=（2，0），-=（1，-），则|×（+）|=（ ）

A. 4 B.

C. 6 D. 2

9. 已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），以线段F1F2为

直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线PF2与圆E：（x-）2+y2=相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）

x 2x A. y=±B. y=±

C. y=±x D. y=±x

10. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）-1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，函数y=f（x）图象的一条对

称轴是x=-，则ω取得最小值时，函数f（x）的单调增区间是（ ）

A. [3kπ-，3kπ-]，k∈Z C. [2kπ-，2kπ-]，k∈Z

B. [3kπ-，3kπ-]，k∈Z D. [2kπ-，2kπ-]，k∈Z

11. 已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A-BD-C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（ ） A. 25π B. 26π C. 27π D. 28π fx）=lnx+2ax2+5．x2，12. 已知函数（（2a+2）设a＜-1，若对任意不相等的正数x1，恒有实数a的取值范围是（ ） A. （-3，-1） B. （-2，-1） C. （-∞，-3] 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设变量x，y满足约束条件：

．则

D. （-∞，-2]

．则目标函数z=2x+3y的最小值为______．

14. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐

王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为______．

15. 过抛物线C：y2=2Px（P＞0）的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段

AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若

，则l的斜率为______．

，残缺部分位于

16. 如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，

过点C的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在BC

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上，则裁出三角形面积的最大值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知等差数列{an}的前n项和为

数列{bn}满足． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）已知

，求数列{cn+bn}的前n项和Tn?

，公差d＞0，S1．、S4．、S16成等比数列，

18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，

PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点． （Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

19. 已知圆

在MA上，且满足

及定点，点A是圆M上的动点，点B在NA上，点G

，点G的轨迹为曲线C．

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（1）求曲线C的方程；

（2）设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线Q两点，当

时，求△OPQ（O为坐标原点）面积的取值范围．

和

分别交于P、

20. 超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，

但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡．

某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+l次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜l）．

（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；

（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2（i）试运用概率统计的知识，若Eξ1=Eξ2，

试求p关于k的函数关系式P=f（k）；（ii）若

，采用混合检验方式可以使得样本需要

检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值． 参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.7918．

n}表示m，n中的最大值，=max{x2-1，2lnx}，21. 记max{m，如max．已知函数f（x）

g（x）=max{x+lnx，-x2+（a2-）x+2a2+4a}． （1）设

，求函数h（x）在（0，1]上零点的个数；

（2）试探讨是否存在实数a∈（-2，+∞），使得g（x）＜x+4a对x∈（a+2，+∞）恒成立？若

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