立体几何综合应用 下载本文

8..(本小题满分12分)如图,已知点P在圆柱OO1 的底面圆O上,AB、A1B1分别为圆O、圆O1 的直径且A1A⊥平面PAB. (1)求证:BP⊥A1P;

(2)若圆柱OO1的体积V=12π,OA=2,∠AOP =120°,求三棱锥A1-APB的体积.

解:(1)证明:易知AP⊥BP,由AA1⊥平面PAB,得AA1⊥BP,且AP∩AA1=A, 所以BP⊥平面PAA1, 故BP⊥A1P.

(2)由题意V=π·OA2·AA1=4π·AA1=12π, 解得AA1=3.

由OA=2,∠AOP=120°,得 ∠BAP=30°,BP=2,AP=23, 1

∴S△PAB=×2×23=23,

2

11

∴三棱锥A1-APB的体积V=S△PAB·AA1=×23×3=23.

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9.如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=22,E、F分别是AB、

PD的中点.

(1)求证:AF∥平面PCE; (2)求证:平面PCE⊥平面PCD; (3)求四面体PEFC的体积.

解:(1)证明:设G为PC的中点,连接FG,EG, ∵F为PD的中点,E为AB的中点, 11

∴FG綊CD,AE綊CD

22∴FG綊AE,∴AF∥GE ∴GE?平面PEC, ∴AF∥平面PCE;

(2)证明:∵PA=AD=2,∴AF⊥PD ∴PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD, ∴PA⊥CD,∵AD⊥CD,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面PAD,

∵AF?平面PAD,∴AF⊥CD ∵PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD, ∴GE⊥平面PCD, ∵GE?平面PEC, ∴平面PCE⊥平面PCD; (3)由(2)知,GE⊥平面PCD, 所以EG为四面体PEFC的高, 又GF∥CD,所以GF⊥PD, 1

EG=AF=2,GF=CD=2,

21

S△PCF=PD·GF=2.

2

122

得四面体PEFC的体积V=S△PCF·EG=.

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