8．．(本小题满分12分)如图，已知点P在圆柱OO1 的底面圆O上，AB、A1B1分别为圆O、圆O1 的直径且A1A⊥平面PAB. (1)求证：BP⊥A1P；

(2)若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP ＝120°，求三棱锥A1－APB的体积．

解：(1)证明：易知AP⊥BP，由AA1⊥平面PAB，得AA1⊥BP，且AP∩AA1＝A， 所以BP⊥平面PAA1， 故BP⊥A1P.

(2)由题意V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π， 解得AA1＝3.

由OA＝2，∠AOP＝120°，得 ∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝23， 1

∴S△PAB＝×2×23＝23，

2

11

∴三棱锥A1－APB的体积V＝S△PAB·AA1＝×23×3＝23.

33

9．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝22，E、F分别是AB、

PD的中点．

(1)求证：AF∥平面PCE； (2)求证：平面PCE⊥平面PCD； (3)求四面体PEFC的体积．

解：(1)证明：设G为PC的中点，连接FG，EG， ∵F为PD的中点，E为AB的中点， 11

∴FG綊CD，AE綊CD

22∴FG綊AE，∴AF∥GE ∴GE?平面PEC， ∴AF∥平面PCE；

(2)证明：∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD ∴PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A， ∴CD⊥平面PAD，

∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD ∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD， ∴GE⊥平面PCD， ∵GE?平面PEC， ∴平面PCE⊥平面PCD； (3)由(2)知，GE⊥平面PCD， 所以EG为四面体PEFC的高， 又GF∥CD，所以GF⊥PD， 1

EG＝AF＝2，GF＝CD＝2，

21

S△PCF＝PD·GF＝2.

2

122

得四面体PEFC的体积V＝S△PCF·EG＝.

33