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q?(p?r)??p??q?r

?m0?m1?m2?m3?m4?m5?m7 所以上述公式不等值. （2）?(p?q)与?(p?q) 答：?(p?q)??p??q ?m0?m1?m2 ?(p?q)??p??q ?m0

16.用主合取范式判断下列公式是否等值. （1）p?(q?r)与?(p?q)?r 答：p?(q?r)?M6 ?(p?q)?r=M6

（2）p?(q?r)与(p?q)?r 答：p?(q?r)?M6

(p?q)?r=M0?M2?M6

17.将下列公式化成与之等值且仅含??,?,??中联结词的公式： （1）?(p?(q?(q?r)))

答：?(p?(q?(q?r)))??(?p?(q?(q?r))) ?p??(?(q?r))

?p??((?q?(q?r))?(q??(q?r))) （2）(p?q)??r

答：(p?q)??r，原式已满足题目要求. （3）p?(q?r)

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答：p?(q?r)?(p?(q?r))?((?r)?p)

?(?p?((?q?r)?(q??r)))?(?((?q?r)?(q??r))?p) 18.将下列公式化成与之等值且仅含{?,?}中联结词的公式： （1）p??q??r

答：此公式已经符合题目要求. （2）(p?r)?q

答：(p?r)?q?((p?r)?(r?p))?q ?((?p?r)?(?r?p))?q ?(?(p??r)??(r??p))?q （3）(p?(q?r))?q

答：(p?(q?r))?q?(?p?(q?r))?p ??(p??(q?r))?p ??((p??(q?r))??p)

19.将下列公式化成与之等值且仅含??,??中联结词的公式. （1）(?p??q)?r

答：(?p??q)?r??(?(?p??q)??r) （2）(p?(q??p))?q?r

答：(p?(q??p))?q?r??(?(?p??(?q?p))??q??r)

（3）p?q??r

答：p?q??r??(?p??q?r)

?}中联结词的公式： 20．将下列公式化成与之等值且仅含{?，（1）(p?q)?r（2）(p??q)?r（3）(p?q)?r

答：(p?q)?r??(?p??q)?r??(p??q)?r?(p??q)?r (2)(p??q)?r

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答：(p??q)?r??(?(p??q)??r)??((p??q)??r) (3)(p?q)?r

答：(p?q)?r?(?(?p??q)?r)?(r??(?p??q))

??(?(?(?p??q)?r)??(r??(?p??q))) ??((?(p??q)?r)??(r??(p??q)))

21．证明：

(p?q)?(q?p). （1）(p?q)?(q?p)，(p?(q?r))?((p?q)?r). （2）(p?(q?r))?((p?q)?r)，证明：(1)p?q??(p?q)??(q?p)?q?p；

p?q??(p?q)??(q?p)?q?p

(2)令p?0,q?0,r?1则

p?(q?r)?1,(p?q)?r?0，p?(q?r)?1,(p?q)?r?0.，可知(p?(q?r))?((p?q)?r)，(p?(q?r))?((p?q)?r).

22.从表2.6中，找出与下列公式等值的真值函数： （1）p?q

（2）p?q

（3）(p??q)?(?p?q) （4）?(p?q)

(2)(2)(2)(2)答：(1)F14;(2)F8;(3)F6;(4)F2

23．设A、B、C为任意的命题公式，证明： （1）等值关系有自反性：A?A

（2）等值关系有对称性：若A?B,则B?A

（3）等值关系有传递性：若A?B且B?C，则A?C

答：(1)A?A?(A?A)?(A?A)?A?A??A?A?1

(2)B?A?(?B?A)?(?A?B)?(?A?B)?(?B?A)?A?B (3)

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若A?B且B?C?(A?B)?(B?A)?(B?C)?(C?B)?(A?B)?(B?C)?(C?B)?(B?A)?(A?C)?(C?A)

?A?C即A?C24．设A、B为任意的命题公式，证明：?A??B当且仅当A?B 答：?A??B?(A??B)?(B??A)?(A?B)?(B?A)?A?B. 因此?A??B当且仅当A?B。

25．设A、B、C为任意的命题公式，（1）若A?C?B?C，举例说明A?B不一定成立。（2）若A?C?B?C，举例说明A?B不一定成立。由（1）、（2）可知，联结词

?与?不满足消去率。

答：(1)设A?p?1,B?q?0,C?r?1，则A?C?1?B?C?1

，但

A?1,B?0，二者不等价。

（2）设A?p?1,B?q?0,C?r?0，则A?C?0?B?C?0，但

A?1,B?0，二者不等价。

26．在上题（25）中，若已知A?C?B?C，在什么条件下，A?B一定成立？又若已知A?C?B?C，在什么条件下，A?B一定成立？ 解：若C?0;则A?C?B?C，A?B一定成立。 若C?1；则A?C?B?C，A?B一定成立。

27．某电路中有一个灯泡和三个开关A、B、C。已知在且仅在下述四种情况下灯亮： （1）C的扳键向上，A、B的扳键向下。（2）A的扳键向上，B、C的扳键向下。（3）B、C的扳键向上，A的扳键向下。（4）A、B的扳键向上，C的扳键向下。 设F为1表示灯亮，p、q、r分别表示A、B、C的扳键向上。 （a）求F的主析取范式。

（b）在联结词完备集{?，?}上构造F。

?，?}上构造F。 （c）在联结词完备集{?， 答：（a）由题意知，灯亮的情况如下：

F?(p??q??r)?(?p??q?r)?(?p?q?r)?(p?q??r) ?m1?m3?m4?m6

（b）F?(p??q??r)?(?p??q?r)?(?p?q?r)?(p?q??r)

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