（Ⅰ）求a3,a4,a5的值；

*（Ⅱ）设cn?a2n?1?a2n?1,n?N，证明：?cn?是等比数列；

（Ⅲ）设Sk?a2?a4?????a2k,k?N,证明：

*Sk7?(n?N*)． ?6k?1ak4n【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.

?1,n是奇数3?(?1)n*（Ⅰ）解:由bn?,n?N,可得bn??, 又bnan?an?1?bn?1an?2?0,

2?2,n是偶数当n=1时,a1?a2?2a3?0,由a1?2,a2?4,得a3??3; 当n=2时,2a2?a3?a4?0,可得a4??5. 当n=3时,a3?a4?2a5?0,可得a5?4. （Ⅱ）证明:对任意n?N,

*a2n?1?a2n?2a2n?1?0,① 2a2n?a2n?1?a2n?2?0,② a2n?1?a2n?2?2a2n?3?0,③

②-③得 a2n?a2n?3 ④,

*将④代入①,可得a2n?1?a2n?3??(a2n?1?a2n?1),即cn?1??cn(n?N),又c1?a1?a3??1,

故cn?0,因此

cn?1??1,所以?cn?是等比数列. cnk（III）证明：由（II）可得a2k?1?a2k?1?(?1)，

于是，对任意k?N且k?2，有

*a1?a3??1,?(a3?a5)??1,a5?a7??1,M(?1)k(a2k?3?a2k?1)??1.

k将以上各式相加，得a1?(?1)a2k?1??(k?1), k?1即a2k?1?(?1)(k?1)，

k?1此式当k=1时也成立.由④式得a2k?(?1)(k?3).

从而S2k?(a2?a4)?(a6?a8)?L?(a4k?2?a4k)??k,

S2k?1?S2k?a4k?k?3.

所以，对任意n?N,n?2，

nSkS4m?3S4m?2S4m?1S4m?(???) ??a4m?2a4m?1a4mk?1akm?1a4m?34n*??(m?1nn2m?22m?12m?32m???) 2m2m?22m?12m?323?)

2m(2m?1)(2m?2)(2m?2)??(m?1n253???? 2?3m?22m(2m?1)(2n?2)(2n?3)1n53???? 3m?2(2m?1)(2m?1)(2n?2)(2n?3)151111113???[(?)?(?)?L?(?)]? 3235572n?12n?1(2n?2)(2n?3)15513?????3622n?1(2n?2)(2n?3)

7?.6对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意n?N,

*SSS1S2??L?2n?1?2n a1a2a2n?1a2n?(SSSSS1S2?)?(3?4)?L?(2n?1?2n) a1a2a3a4a2n?1a2n11121n?(1??)?(1?2?2)?L?(1??) 2nn41244?(4?1)4(4?1)11121n?n?(?)?(2?22)?L?(n?nn)

41244(4?1)44(4?1)111?n?(?)?n?.

41237.(2020年高考安徽卷理科20)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p?,p?,p?，假设p?,p?,p?互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q?,q?,q?，其中

q?,q?,q?是p?,p?,p?的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；

（Ⅲ）假定??p??p??p?，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。

【命题意图】：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列，均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识。

【解析】：（Ⅰ）无论怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是

(??p?)?(??p?)?(??p?)，所以任务能被完成的概率为

??(??p?)?(??p?)?(??p?)=p??p??p??p?p??p?p??p?p??p?p?p?

（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q?,q?,q?时，所需派出人员数

目X的分布列为

X P 1 2 3 q? (??q?)?q? (??q?)?(??q?)

所需派出人员数目X的均值（数字期望）EX是

EX???q????(??q?)?q????(??q?)?(??q?)????q??q??q??q?

（Ⅲ）（方法一）由（Ⅱ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人时，所需派出

人员数目X的均值（数字期望）EX是

EX????p??p??p??p?

按常理，优先派完成任务概率大的人，可减少所需派出人员的数目的均值。 下面证明：对于p?,p?,p?的任意组合q?,q?,q?，都有 ???q??q??q??q?????p??p??p??p? ……（＊） 事实上△=(???q??q??q??q?)?(???p??p??p??p?) =?(p??q?)?(p??q?)?q??q??p??p?

=?(p??q?)?(p??q?)?(p??q?)?p??(p??q?)?q? =(p??q?)(??p?)?(p??q?)(??q?)

?(??q?)[(p??p?)?(q??q?)]??,所以（＊）式成立。

（方法二）（i）可将（Ⅱ）中EX????q??q??q??q?改写为

EX???(q??q?)?q??q??q?，若交换前两人的顺序，则变为EX???(q??q?)?q??q??q?，

由此可见，当q??q?时，交换前两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。

（ii）也可将（Ⅱ）中EX????q??q??q??q?改写为EX????q??(??q?)?q?，

若交换后两人的顺序则变为EX????q??(??q?)?q?，由此可见，保持第一个人不变，当

q??q?时，交换后两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。

组合（i）（ii）可知，当(q?,q?,q?)?(p?,p?,p?)时EX达到最小，即优先派完成任务概率大的人，可减少所需派出人员的数目的均值，这一结论也合乎常理。 【高考冲策演练】

一、选择题：