2020高考数学二轮专题复习 数学思想方法 下载本文

(Ⅰ)求a3,a4,a5的值;

*(Ⅱ)设cn?a2n?1?a2n?1,n?N,证明:?cn?是等比数列;

(Ⅲ)设Sk?a2?a4?????a2k,k?N,证明:

*Sk7?(n?N*). ?6k?1ak4n【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.

?1,n是奇数3?(?1)n*(Ⅰ)解:由bn?,n?N,可得bn??, 又bnan?an?1?bn?1an?2?0,

2?2,n是偶数当n=1时,a1?a2?2a3?0,由a1?2,a2?4,得a3??3; 当n=2时,2a2?a3?a4?0,可得a4??5. 当n=3时,a3?a4?2a5?0,可得a5?4. (Ⅱ)证明:对任意n?N,

*a2n?1?a2n?2a2n?1?0,① 2a2n?a2n?1?a2n?2?0,② a2n?1?a2n?2?2a2n?3?0,③

②-③得 a2n?a2n?3 ④,

*将④代入①,可得a2n?1?a2n?3??(a2n?1?a2n?1),即cn?1??cn(n?N),又c1?a1?a3??1,

故cn?0,因此

cn?1??1,所以?cn?是等比数列. cnk(III)证明:由(II)可得a2k?1?a2k?1?(?1),

于是,对任意k?N且k?2,有

*a1?a3??1,?(a3?a5)??1,a5?a7??1,M(?1)k(a2k?3?a2k?1)??1.

k将以上各式相加,得a1?(?1)a2k?1??(k?1), k?1即a2k?1?(?1)(k?1),

k?1此式当k=1时也成立.由④式得a2k?(?1)(k?3).

从而S2k?(a2?a4)?(a6?a8)?L?(a4k?2?a4k)??k,

S2k?1?S2k?a4k?k?3.

所以,对任意n?N,n?2,

nSkS4m?3S4m?2S4m?1S4m?(???) ??a4m?2a4m?1a4mk?1akm?1a4m?34n*??(m?1nn2m?22m?12m?32m???) 2m2m?22m?12m?323?)

2m(2m?1)(2m?2)(2m?2)??(m?1n253???? 2?3m?22m(2m?1)(2n?2)(2n?3)1n53???? 3m?2(2m?1)(2m?1)(2n?2)(2n?3)151111113???[(?)?(?)?L?(?)]? 3235572n?12n?1(2n?2)(2n?3)15513?????3622n?1(2n?2)(2n?3)

7?.6对于n=1,不等式显然成立. 所以,对任意n?N,

*SSS1S2??L?2n?1?2n a1a2a2n?1a2n?(SSSSS1S2?)?(3?4)?L?(2n?1?2n) a1a2a3a4a2n?1a2n11121n?(1??)?(1?2?2)?L?(1??) 2nn41244?(4?1)4(4?1)11121n?n?(?)?(2?22)?L?(n?nn)

41244(4?1)44(4?1)111?n?(?)?n?.

41237.(2020年高考安徽卷理科20)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟,如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别p?,p?,p?,假设p?,p?,p?互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

(Ⅰ)如果按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?

(Ⅱ)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为q?,q?,q?,其中

q?,q?,q?是p?,p?,p?的一个排列,求所需派出人员数目X的分布列和均值(数字期望)EX;

(Ⅲ)假定??p??p??p?,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数字期望)达到最小。

【命题意图】:本题考查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量及其分布列,均值等基本知识,考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理,分类讨论思想,应用意识与创新意识。

【解析】:(Ⅰ)无论怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是

(??p?)?(??p?)?(??p?),所以任务能被完成的概率为

??(??p?)?(??p?)?(??p?)=p??p??p??p?p??p?p??p?p??p?p?p?

(Ⅱ)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q?,q?,q?时,所需派出人员数

目X的分布列为

X P 1 2 3 q? (??q?)?q? (??q?)?(??q?)

所需派出人员数目X的均值(数字期望)EX是

EX???q????(??q?)?q????(??q?)?(??q?)????q??q??q??q?

(Ⅲ)(方法一)由(Ⅱ)如果按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人时,所需派出

人员数目X的均值(数字期望)EX是

EX????p??p??p??p?

按常理,优先派完成任务概率大的人,可减少所需派出人员的数目的均值。 下面证明:对于p?,p?,p?的任意组合q?,q?,q?,都有 ???q??q??q??q?????p??p??p??p? ……(*) 事实上△=(???q??q??q??q?)?(???p??p??p??p?) =?(p??q?)?(p??q?)?q??q??p??p?

=?(p??q?)?(p??q?)?(p??q?)?p??(p??q?)?q? =(p??q?)(??p?)?(p??q?)(??q?)

?(??q?)[(p??p?)?(q??q?)]??,所以(*)式成立。

(方法二)(i)可将(Ⅱ)中EX????q??q??q??q?改写为

EX???(q??q?)?q??q??q?,若交换前两人的顺序,则变为EX???(q??q?)?q??q??q?,

由此可见,当q??q?时,交换前两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。

(ii)也可将(Ⅱ)中EX????q??q??q??q?改写为EX????q??(??q?)?q?,

若交换后两人的顺序则变为EX????q??(??q?)?q?,由此可见,保持第一个人不变,当

q??q?时,交换后两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。

组合(i)(ii)可知,当(q?,q?,q?)?(p?,p?,p?)时EX达到最小,即优先派完成任务概率大的人,可减少所需派出人员的数目的均值,这一结论也合乎常理。 【高考冲策演练】

一、选择题: