数学思想方法

【考纲解读】

1.熟练掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.

2.能够对所学知识进行分类或归纳,能应用数学思想方法分析和解决问题,系统地把握知识间的内在联系.

【考点预测】

1.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点，也是高考的一个热点。对函数试题的设计仍然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图象、应用考查函数知识；与方程、不等式、解析几何等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查。

2.预测在今年的高考中,数形结合与分类讨论思想仍是考查的一个热点，数形结合的考查方式常以数学式、数学概念的几何意义、函数图象、解析几何等为载体综合考查,分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前n项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等。

3.预测在今年的高考中,运用化归与转化思想解题的途径主要有：借助函数、方程（组）、辅助命题、等价变换、特殊的式与数的结构、几何特征进行转化,其方法有:正反转化、数形转化、语义转化、等与不等、抽象问题与具体问题化归，一般问题与特殊问题化归，正向思维与逆向思维化归。

【要点梳理】

1.函数与方程思想：我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 2.数形结合的思想:是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择与填空题时发挥着奇特功效.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画图,注意函数的定义域;(2)用图象法讨论方程的解的个数.

3．与分类讨论有关的知识点有：直线的斜率分为存在和不存在两种情形、等比数列中的公比q?1和q?1、由参数的变化引起的分类讨论、由图形的不确定性引起的分类讨论、指对函数的底数a分为a?1和0?a?1两种情形等。分类的原则是：不重复、不遗漏、分层次讨论。分类讨论的一般流程是：明确讨论的对象、选择分类的标准、逐类进行讨论、归纳整合。 4．转化与化归常用的方法有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法等。

【考点在线】

考点一 函数与方程思想

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f

?1(x)的单调性、

奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐

含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

例1. (2020年高考江苏卷8)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数

f(x)?2的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________. x【答案】4

?y?kx?【解析】设坐标原点的直线方程为y?kx(k?0),则由?2解得交点坐标为

y??x?(2k2k,2k)、(?,?2k)，即为P、Q两点，所以线段PQ长为kk222?2k?22?2k?4，当且仅当k?1时等号成立，故线段PQ长的最小值是4. kk【名师点睛】本小题考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题. 【备考提示】：正确理解函数与方程思想是解答好本类题的关键.

练习1: (2020年高考山东卷理科16)已知函数f（x）=logax?x?b(a＞0，且a?1).当2＜a

*＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0?(n,n?1),n?N,则n= . 【答案】2

【解析】方程logax?x?b(a＞0，且a?1)=0的根为x0,即函数y?logax(2?a?3)的图象与函数y?x?b(3?b?4)的交点横坐标为x0,且x0?(n,n?1),n?N,结合图象,因为当

*x?a(2?a?3)时,y?1,此时对应直线上y?1的点的横坐标x?1?b?(4,5);当y?2时,

对数函数y?logax(2?a?3)的图象上点的横坐标x?(4,9),直线y?x?b(3?b?4)的图象上点的横坐标x?(5,6),故所求的n?2.

考点二 数形结合思想

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

例2. 若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。

?3?x?0?3?x?0【解析】 原方程变形为 ? ,即：?, 22?x?3x?m?3?x(x?2)?1?m??设曲线y1＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图像如图所示.由图可知：

2② 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;

②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3

∴ m＝1或－3

此题也可设曲线y1＝－(x－2)＋1 , x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图像求解。 【名师点睛】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决.

【备考提示】：一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）.

2?2x?2?,练习2：(2020年高考北京卷理科13)已知函数f(x)??x若关于x 的方程f(x)=k

?(x?1)3,x?2?有两个不同的实根，则数k的取值范围是____ ___. 【答案】（0，1）

【解析】画出函数图象与直线y=k,观察,可得结果.

考点三 分类讨论思想

例3. (2020年高考全国新课标卷理科21) 已知函数f(x)?alnxb?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0。 x?1xlnxk?，求k的取值范围. x?1x（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?a(【解析】（Ⅰ）?f?(x)?x?1?f(1)?1?b?1?lnx)b??x?，由题意知：即?1?a1

?(x?1)2x2f(1)???b???2?2??2?a?b?1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?lnx1?，所以， x?1xlnx11f(x)?(?)?x?1x1?x2?(k?1)(x2?1)??2lnx??

x??(k?1)(x2?1)(k?1)(x2?1)?2x,(x?0)则，h?(x)?设h(x)?2lnx? 2xxk(x2?1)?(x?1)2⑴如果k?0，由h?(x)?知，当x?1时， h?(x)?0，而h(1)?0

x21h(x)?0 21-xlnxklnxk从而，当x?0时，f(x)?(?)?0,即f(x)??

x?1xx?1x1⑵如果k?(0,1)，则当，x?(1,)时，?(k?1)(x2?1)?2x?0,h?(x)?0

1?k1而h(1)?0；h(x)?0得：h(x)?0与题设矛盾； 21-x故，由当x?(0,1)时h?(x)?0,当x?(1,??),时h?(x)?0得：

⑶如果k?1，那么，因为h?(x)?0而h(1)?0，?x?(1,??)时，由h(x)?0得：

1h(x)?0与题设矛盾； 1-x2 综合以上情况可得：k????,0?.

【名师点睛】本题综合考察导数的概念、性质、求导法则、导数的应用、分类讨论等概念、性质、方法和思想, 特别是第(2)问通过构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论确定参数的取值范围,要深入理解和把握并进行拓展.

【备考提示】：分类讨论思想是高考的热点,年年必考,深刻领会分类讨论的思想是解决好本类题目的关键.