limun?limn??n??1?0，所以它是收敛的； n?1当x?3时，原级数为的；

?n?0?11，这是一个p??1的p?级数，所以它是发散

2n?1所以，原级数的收敛域为[1, 3)． 四、应用题（每小题6分，共12分）

1x51．求函数f(x)?x在x?0时的最大值，并从数列1，2，33，44，

n，

n，中选出最大的一项（已知2?33）．

11??lnxx??lnx1?lnx??x解：因为 f?(x)??e??xx? ?x??2x?x???令f?(x)?0，解得唯一驻点x?e．

又因为在区间(0, e)内f?(x)?0，f(x)严格单调增加；在区间(e, ??)内而f(x)又在区间(0, ??)连续，所以f(x)在x?ef?(x)?0，f(x)严格单调减少；处取最大值e．

已知2?31e3，由上知33?44?????nn????于是数列的第三项33是此数列

中最大的一项．

52．过点M(3, 0)作曲线y?ln(x?3)的切线，该切线与此曲线及x轴围成一平面图形D．试求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

解：设切线与曲线相切于点M0?x0,ln(x0?3)?（如第52题图所示），

13

y 1 M(3, 0) M0 O 4 3?e x y?ln(x?3) 第52题图

由于

y'x?x?10x3 0?则切线方程为 y?ln(x10?3)?x(x?x0) 0?3因为切线经过点M(3, 0)，

所以将x?3, y?0代入上式得切点坐标为M0?e?3, 1? 从而切线方程为

y?1e(x?3)

因此，所求旋转体的体积为

V?13π?12?e?π?3?e4?ln(x?3)?2dx

?πe3?π??x??lnx?2e1?2?e1lnxdx??

??πe3?πe?2π??xlnxe?e??e??1?11dx??2π???1?3??．

五、证明题（8分）

53．证明不等式：

m?nmm?m?lnn?nn，其中n?m为正整数．

14

证明：设f(x)?lnx，则f(x)在?n, m?上连续，在(n, m)内可导，故f(x)在区间?a, b?上满足拉格朗日中值定理条件，

于是，至少存在一点??(n, m)，使得

lnm?lnn1m?n??

又因为0?n???m，故

1m?1??1n，从而有 1lnm?lnnm?m?n?1n 所以

m?nmm?m?lnnn?n． 15