（2）合比性质：如果b＝d，那么a1

a2

aca+bban

＝

c+dd

（b，d≠0）；

a1+a2+?+an

a1

（3）等比性质：如果b1＝b2＝?＝bn，且b1+b2+?+bn≠0，那么b1+b2+?+bn＝b1。 3. 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值做黄金数（即线段AB上找一点P,AP2=AB×BP）。

4. 两条直线被平行线段所截，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

5. 一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。 6. 相似三角形的判定

（1）平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似；

（2）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（两角分别相等的两个三角形相似）；

（3）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）； （4） 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（三边成比例的两个三角形相似）；

（5） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7. 相似三角形的性质

（1） 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方； （4）相似三角形对应角相等，对应边成比例。 8. 图形的位似变换

一般地，如果一个图形上的点A1，B1，?，P1和另一个图形上的点A，B，?，

21

5?1

叫2

P分别对应，并且满足下面两点：（1）直线AA1，BB1，?，PP1都经过同一点O；（2）OA＝OB＝?＝OP＝k，那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心。

OA1

OB1

OP1

二十三、解直角三角形

1. 如下图所示，在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记做tanA，即tanA＝b；锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记做sinA，即sinA＝c；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记做cosA，即cosA＝c，锐角A的正弦、余弦、正切都叫做锐角A的三角函数。

a

b

a

2. 坡面的铅直高度h和水平长度L的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i＝L，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，于是有tanα＝L＝i。显然，坡度越大，坡角α越大，坡面越抖。 3. 特殊角的三角函数值

α sinα 30° 45° 60° 3 21 2 3 1 2 22 3 2cosα 22 31 tanα 34. 任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值。

h

h

5. 在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

九年级下

二十五、圆

1. 一个图形绕着一个定点，旋转一定的角度，得到另一个图形的变换，叫做旋

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转，定点叫旋转中心，这个角度叫旋转角，旋转前后图形上对应的两点叫对应点。 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；旋转中心是唯一不动的点。在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后，能够与原图重合，这样的图叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心。

2. 如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么称这个图形为中心对称图形；如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么称这两个图形成中心对称。 中心对称的性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形；

（2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等； （3）关于中心对称的两个图形，对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

3. 一个图形旋转360°是一个恒等变换。

4. 线段绕着它的一个端点旋转一周所得到的封闭曲线叫做圆。假设线段OP，固定点O，则O称为圆心，线段OP叫做半径，以O点为圆心的圆，记做“⊙O”，读作“圆O”。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用“⌒”表示，圆上任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一个弧都叫半圆，大于半圆的弧叫做优弧（一般用三个字母表示），小于半圆的弧叫做劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。由弦及其所对弧组成的图形叫做弓形。能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。圆心到弦的距离叫做弦心距。顶点在圆心的角叫做圆心角。

同圆中，半径相等，直径等于半径的2倍；同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧。

定理：（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； （2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等；

（4）在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所

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对的弦心距中，有一组量相等，那么其余各量都分别相等。 5. 不在同一直线的三个点确定一个圆。

6. 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形，三角形的外心到三角形三个顶点距离相等。 7. 反证法：假设命题结论不成立，然后经过推理，最后得出矛盾的结果，从而断言结论一定成立。

8. 顶点在圆上，并且两边都与圆还另有一个交点的角叫做圆周角。 （1）一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；

（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；

（3）半圆或者直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 9. 一个多边形多有的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。

圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角。

10. 直线与圆有两个公共点，这时直线与圆相交，这条直线叫圆的割线；直线与圆有一个公共点，这时直线与圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点；直线与圆没有公共点，直线与圆相离。 切线性质

（1）圆的切线垂直于经过切点的半径； （2）经过切点垂直的切线的直线必经过圆心；

（3）圆外一点引圆的两条切线，切线长相等（从圆外一点做圆的切线，这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长），这一点与圆心连线平分两条切线的夹角。（切线长定理）

切线判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

11. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心到三角形的三边的距离相等。

12. 设⊙O1与⊙O2的半径分别为r、R（R﹥r），两圆圆心间的距离O1O2=d。 （1）d﹥R+r，两圆外离；

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