(1)求证：MN∥平面SDC； (2)求点A到平面MDN的距离．
解 (1)证明：取AD的中点E，连接ME，NE，则ME∥DC，因为ME?平面SDC， 所以ME∥平面SDC， 2分 同理NE∥平面SDC. 所以平面MNE∥平面SDC， 所以MN∥平面SDC. 4分 (2)因为CD⊥AD，所以ME⊥AD.
因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥CD，ME⊥SD. 又因为AD∩SD＝D， 所以ME⊥平面SAD. 6分
- 9 -
因为DA＝2，则ME＝3，NE＝2，MN＝NE＋ME＝13，MD＝10，ND＝5. 在△MDN中，由余弦定理，得cos∠MDN＝
2， 10
22
727
从而sin∠MDN＝，所以△MDN的面积为， 9分
1021
连接AM，则△ADM的面积为×2×3＝3.
2设点A到平面MDN的距离为d， 7
由VA－MDN＝VN－AMD，得d＝3NE，
2
12
因为NE＝2，所以点A到平面MDN的距离d＝. 12分
7
20．(2019·河南九师联盟1月质量检测)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(1－a)x1
＋＋2aln x(a＞0)．
2
x(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)证明：对任意x∈[1，＋∞)，有f(x)≤2x－a.
12a11222
解 (1)f′(x)＝1－a－2＋＝2[(1－a)x＋2ax－1]＝2[(1＋a)x－1][(1－a)x＋1].
2
xxxx2分
①当0＜a≤1时，由f′(x)＜0，得[(1＋a)x－1][(1－a)x＋1]＜0，解得0＜x＜由f′(x)＞0，得[(1＋a)x－1][(1－a)x＋1]＞0，解得x＞故函数f(x)的单调递减区间为?0，
1. a＋1
1； a＋1
??
1??1，＋∞?. 4分
，单调递增区间为???a＋1??a＋1?
11
或x＞； a＋1a－1
②当a＞1时，由f′(x)＜0，得0＜x＜由f′(x)＞0，得
11
＜x＜. a＋1a－1
故函数f(x)的单调递减区间为?0，6分
?
?
1??1?1，1?. ，＋∞?，，单调递增区间为?????a＋1??a－1??a＋1a－1?
1222
(2)证明：构造函数g(x)＝f(x)－2x＋a＝－(1＋a)x＋＋2aln x＋a，
x2a1＋a则g′(x)＝－(1＋a)－2＋＝－
2
1
2
x2
xx2－2ax＋1
. 8分
x2
因为Δ＝(2a)－4(1＋a)＜0,1＋a>0，
- 10 -
22
所以(1＋a)x－2ax＋1＞0，即g′(x)＜0. 故g(x)在区间[1，＋∞)上是减函数．
又因为x≥1，所以g(x)≤g(1)＝－(1＋a)＋1＋a＝0. 故对任意x∈[1，＋∞)，有f(x)≤2x－a. 12分
21．(2019·广东湛江测试二)(本小题满分12分)已知定点F(1,0)，横坐标不小于0的动点T在y轴上的射影为H，若|TF|＝|TH|＋1.
(1)求动点T的轨迹C的方程；
(2)若点P(4,4)不在直线l：y＝kx＋m上，并且直线l与曲线C相交于A，B两个不同点．问是否存在常数k使得当m的值变化时，直线PA，PB的斜率之和是一个定值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设点T在直线x＝－1上的射影是R，则由于T的横坐标不小于0，所以|TR|＝|TH|＋1，又|TF|＝|TH|＋1，所以|TF|＝|TR|，即点T到点F(1,0)的距离与点T到直线x＝－1的距离相等，所以T的轨迹是以F(1,0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线．即动点T的轨迹C的方程是y＝4x. 4分
2
22
2
22
?a??b?(2)由于A，B两点在曲线C：y＝4x上，所以可设A?，a?，B?，b?，则
?4??4?
2
22
a－44b－44
PA的斜率k1＝2＝，PB的斜率k2＝2＝，
aa＋4bb＋4
4
所以k1＋k2＝
－4
4－4
444a＋b＋8
＋＝. 8分 a＋4b＋4ab＋4a＋b＋16
2
??y＝4x，
又曲线C与直线l相交于A，B两点，所以k≠0，联立?
?y＝kx＋m，?
整理，得ky－4y2
44m＋4m＝0，所以a＋b＝，ab＝.
kk则k1＋k2＝
4a＋b＋88k＋44k－m??
＝＝＝1＋， 11分
ab＋4a＋b＋164m44k＋m＋44k＋m＋4
＋4×＋16
?4?4?＋8?kkk此式随着m的变化，值也在变化，所以不存在k值满足题意. 12分
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
??x＝1＋t，
在直角坐标系xOy中，已知点P(1，－2)，直线l：?
?y＝－2＋t?
(t为参数)，以坐标原
2
点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθ＝2cosθ，直线
- 11 -
l和曲线C的两交点为A，B.
(1)求直线l和曲线C的普通方程； (2)求|PA|＋|PB|.
??x＝1＋t，
解 (1)直线l：?
?y＝－2＋t?
2
(t为参数)，消去t，可得直线l的普通方程为x－y－3
＝0. 2分
曲线C的极坐标方程为ρsinθ＝2cosθ，即为ρsinθ＝2ρcosθ，由x＝ρcosθ，
2
2
y＝ρsinθ可得曲线C的普通方程为y2＝2x. 5分
?x＝1＋2
直线l的标准参数方程为??
2
t′，(2)??y＝－2＋2
2t′
(t′为参数)，
代入曲线C：y2
＝2x， 可得t′2
－62t′＋4＝0， 有t′1＋t′2＝62，t′1t′2＝4，
则|PA|＋|PB|＝|t′1|＋|t′2|＝t′1＋t′2＝62. 10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a>0，b>0，a2
＋b2
＝a＋b.证明： (1)(a＋b)2
≤2(a2
＋b2)； (2)(a＋1)(b＋1)≤4.
证明 (1)因为(a＋b)2
－2(a2
＋b2
)＝2ab－a2
－b2
＝－(a－b)2
≤0. 所以(a＋b)2
≤2(a2
＋b2). 4分
(2)证法一：由(1)及a2
＋b2
＝a＋b得a＋b≤2. 因为(a＋1)(b＋1)≤?
?a＋1＋b＋1?2??2?＝??a＋b＋2?2??2?
≤4.
于是(a＋1)(b＋1)≤4. 10分
证法二：由(1)及a2
＋b2
＝a＋b得a＋b≤2. 因为ab≤?
?a＋b?2??2?
，所以ab≤1.
故(a＋1)(b＋1)＝ab＋a＋b＋1≤4. 10分
- 12 -