假设有一个2n次代数方程

b0?b1x2?b2x4?...?(?1)nbnx2n?0。 （1） 式（1）有2n个不同的根??1,??2,...,??n。如果两个代数方程有相同的根，而且常数项相等，那么这两个方程其他项的系数也应该分别相等，那么有

b0?b1x?b2x?...?(?1)bnx24n2n?b0(1?x2?12)(1?x2?22)...(1?x2?n2)。

比较上式两边x2的系数。就得到 b1?b0(1?12?1?22?...?1?n2)。 （2）

考虑三角形方程sinx?0，他有无穷个根：0,??,?2?,...。将sinx展开为级数后，把方程两边除以x，就得到

1?x2/3!?x4/5!?x6/7!?...?0。 （3）

显然（3）式的根是：??,?2?,...。

本来（3）式的左方有无穷多项，与代数式（1）的左方明显不同。但欧拉硬拿（1）与（3）类比，并对（3）运用（2），就得到

1111?2???...。 3!?(2?)2(3?)2这就是著名的

?26?1?111???...。这就解决了伯努利难题。 223242 欧拉采用的类比方法虽然巧妙、大胆，然而有失严密。因为，虽然“一元n次方程有n个根”成立，但既无“一元无限次方程有无限个根”的定理，也不知道一元无限次方程与系数的关系。欧拉个人也

认识到自己证明的不足，因而采用其他方法继续研究，最终找到求该级数和的严格方法，并发表在他的《无穷分析引论》中。

例五 ?与伯努利多项式

a0?三角?级数f(x)???(ancosnx?bnsinnx)中的傅里叶系数an和bn2n?1可以用

an?1???f(x)cosnxdx (n?0,1,2,...)

??和 bn?f(x)sinnxdx (n?1,2,...) ????1?来表示。

对每个自然数n，我们把 n次伯努利多项式?n(x)定义为

?n?n?2?n??n?n?6nn?4??????n(x)?xn?xn?1??Bx?Bx?B3x?...。 12??????2?2??4??6? 利用?n(x)的主要性质，可以直接确定?n(x)的各个傅里叶系数，并进而得到

?2k(x)?2(?1)(2k)!?k?1cos2n?x； 2k(2n?)n?1?设上式中的x?0，可以得到欧拉求得的关于s是偶数时的尼曼函数

?(s)的公式

11122k?1Bk?2k。 ?(2k)?1?2k?2k?...?2k?...?23n(2k)!22k?1事实上，利用上述的?(2k)?Bk?2k及伯努利数，就可以求得：

(2k)!22?1?112?1?2?(2?1)???。

(2?1)!66 几何中凡是有有关圆、球、旋转体的体积等有关公式中必有?。 傅里叶在1811年将偏微分方程的解表示为傅里叶积分形式，其中有?。

1781年，欧拉给出欧拉第二积分，其中伽玛函数里也有?。例如，

1?()??。 2以下两个和式中也奇怪地出现了?：

?(nlnn?1?2)?3?2ln2?ln?,n?2??n?1132[nln(1?)?1]?ln???n2n?2?2。

通过概率积分???e?xdx??，?和e被巧妙的联系在一起。 在概率论中，有标准正态分布的概率密度公式

f(x)?(2?)e?11?x22(x?R)，以及和他本质相同的高斯正态分布曲线公式

2?2f(x)?(2??)?1e?(x?a)2（x?R；a是平均值，?是标准误差，他们都是常

数，且??0），其中都有?。

1n2 在动态系统、遍历理论中，有lim?xi?。

?n??ni?1 总而言之，?早已深入到数学的各分支、各领域中：函数变换、奇异积分、椭圆函数、概率论、非欧几何...正如陈省身所说：“?这个数浸透了整个数学。” 六、总结及展望

?不仅早已深入数学的各个领域，而且在物理学中也是如此。例如，在电学中，库仑定律、电场强度公式里有?；在你热学中，麦克

斯韦速度分布律里、分子的算术平均速率公式里也有?；在相对论中，相对论的场方程里、计算行星近日点的进动公式里也有?；在量子理论中最基本的方程。有海森堡（基于矩阵理论）和薛定谔（基于波动理论）的两种不同但等价的表达式中都有?；.....

数?对促进科学技术的发展和人类的进步产生了非常特殊而重要的作用，是人类在数学史和自然科学上最精妙的发明和发现之一。它是一个常数,又不是普通的常数。同时，它不仅是无理数,而且它还是超越数。数?的发现和计算表现了人类无限的发明创造才能和高超的智慧,数?是人类的杰作。现在它依然在推动着科学和人类社会的发展,不休止地发挥着它的功能和作用。随着科学技术的发展，人们对?的认识也在不断加深，?对人们的吸引力也在不断加深，对?的探究值得数学家去深究。