(8)

将(9)式代入(8)式

即

(9)

其中

由式(9)可知Wm>0且有上限，而

说明Wm随着m的增大递增，所以如下极限存在，且由夹逼定理得其值

Wallis公式得证。

例二 显然Wallis公式比割圆术要易于计算得多，且简单易懂，但是Wallis公式在形势上仍显复杂，且全部乘除算法也难以提高计算机计算效率。在计算机上计算最好是只有乘除项之和，如：

在(4)式中，实际上令x?cos?，则有dx?sin?d?.式(4)变为

如果令x?sin?，则只变换形式不影响结果。可以据此设想利用其它的三角函数也能得到同样的结果。令

(10)

注意这里的积分上限改成了?/4，因为?/2????/4的时候

tan??1，将导致积分发散。

对(10)式做变换

于是有关系式

(11)

而初值T0??/4，观察规律有

... 总结规律得

(12)

其中m?1,2,3...而从式(10)中可知

结合(12)式，得到

(13)

或者

(14)

显然利用这种方法在形式上要比利用Wallis简单得多，计算机执行运算的时候也能更加快速。

例三 椭圆积分法

椭圆积分法建立在椭圆积分变换的理论上，始作俑者是印度数学家拉马努金。他在1914年“模方程和?的逼近”一文中，给出了14个计算?的公式。其中之一，是关于椭圆积分变换理论和?的快速逼近之间，联系紧密的“拉马努金公式”（“LM”）

22?(4n)!1103?26390n?[]?()。 ?44n?9801n?0(n!)3961 用“LM”每计算一项就可以得到8位的十进制精度，“LM”的一个有趣的“变种”是

1??22?(1/4)n(1/2)n(3/4)n1103?26390n?()， 34n?2(n!)99n?0?这里(cn)是递增阶乘，即(cn)?c(c?1)(c?2)...(c?n?1)。

不过，拉马努金没有给出公式的哦证明，仅仅给出了一些不充分的解释。直到1987年，才有加拿大的波尔稳兄弟给出证明。

只取“LM”的前两项就有

1??22(4?0)!1103?26390?022(4?1)!1103?26390?1?[]?()??[]?()， 44?044?19801(0!)3969801(1!)396