分析法

随着微积分的发现，数学家们对?值的计算方法的改进也在不断进行，人们开始摆脱由阿基米德开创的“割圆术”--几何方法，而采用分析法来计算?值。下面先来介绍分析法计算?值的简要历史，然后提出一种易于理解的计算方式。

1650年，英国数学家沃利斯利用类比、归纳和极限的方法，从计算圆的面积入手，得出

?4?2?4?4?6?6?...，载于他的著作《无穷算

1?3?3?5?5?...述》中。这是分析法计算?值正式诞生前的“前奏曲”。1671年，詹姆斯.格雷戈里公开他发现的公式：

x3x5x7x9arctanx?x?????...(?1?x?1)。

3579但其没有认识到发现的上述公式已经为计算?值开辟了一个新的时代。如果设式子中的x?1，就可以得到

?1111?1?????...。 43579由于是莱布尼兹发现这个式子，后人把它称之为“莱布尼兹公式”或“莱布尼兹级数和”。但是，用莱布尼兹公式算?，则收敛太慢，工作量太大。例如，要求出3.14要算628项。而要求出?值的第六位小数，就不多不少正好取2?106项。由于工作繁杂，所以很少有人实际用这种方法去计算?值。

1676年，微积分的发明者牛顿，发现了一个反正弦函数的展开式：

x23x53?5x7arcsinx?x????...。

2?32?4?52?4?6?7他设式子中的x?1/2，就得到

?6?1133?5????..., 35722?3?22?4?5?22?4?6?7?2并用他计算出?的14位小数。

由于用上述式子计算值效率并不高，所以牛顿的这个值还不如早于他的古典方法。虽然牛顿计算?的位数不多，但此时由他和莱布尼兹创立的微积分正开始显示强大的生命力——他的计算是用分析法算?值的第一次小试牛刀。

1699年英国数学家阿伯拉罕.夏普假设格雷戈里公式公式里的

x?1/3，就得到夏普公式：

?6?1/3(1?1111?2?3?4?...)。 3?33?53?73?9他用这个公式将?算到小数点后72位，其中71位正确。在夏普之前分析法在提高?值位数上并无辉煌战果。69年后的夏普用分析法把?值增加到72位，才开始了分析法大规模计算?值的实战历程。其后令人眼花缭乱的各种算?值的分析法如雨后春笋。这一漫长历程一

直持续了近300年--知道20世纪50年代之后。 1789年威加利用欧拉发现的公式：

?1311?5arctan?2arctan?2arctan?arctan。 477937将?值计算到143位。

1844年德国汉堡的数学家约翰.马丁.扎卡赖亚斯.达什用许尔茨.冯.斯特拉斯尼茨基教授发现的公式：

?111?4arctan?arctan?arctan 457099将?值计算到后205位。

1948年弗格森利用高斯发现的公式：

?111。 ?3arctan?arctan?arctan44201985将?值计算到后809位。

1949年6月，美国数学家列维.史密斯和雷恩奇，算出了1121位?值，创造了人工算?值的最高纪录。

随后随着科学技术的发展，尤其是电子计算机的出现，“人工”算?的时代宣告结束，电子计算机在计算的准确性和速度方面比人工计算快乐许多。在1973年，法国数学家让.吉劳德和同事马丁.玻叶等，用CDC-7600型机花去23小时18分钟，将?值算到小数点后1001250位，登上100万高峰。直到2010年利用“云计算”利用23天已经达到2000万亿位。

下面从分析法中具体举例如下： 例一：利用沃利斯公式

Wallis公式几种表达式如下：

(1)

或

(2)

或

(3)

下面证明这个公式： 令

(4)

利用分部积分法

于是有关系式

(5)

从上式可知I0=1，I1=π/4.根据这两个初值条件有

(6)

或者

(7)

其中m=0,1,2,...而由(7)式也可知