概率与数理统计 习题五 答案
1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P{10 i?141111117E(Xi)?1??2??3??4??5??6??,6666662 11111191E(Xi2)?12??22??32??42??52??62??,6666666917?35从而 D(Xi)?E(X)?[E(Xi)]??????. 6?2?122i22又X1,X2,X3,X4独立同分布. 从而 E(X)?E(?Xi)??E(Xi)?4??14, i?1i?14472 D(X)?D(?Xi)??D(Xi)?4?i?1i?1443535?. 12335/31?4|?4}?124? 0.271,?X?18?}P{X|?所以 P{102. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率 达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？ 【解】设至少要生产n件产品才能满足要求， ?1,X?令i??0,第i个产品合格,第i个产品不合格. i?1,2?,n，, 则 X1,X2,?,Xn相互独立且服从相同的（0—1）分布，p?P?Xi?1??0.8 现要求n,使得 ???P?0.76?????Xii?1nn????0.84??0.9. ???根据独立同分布的中心极限定理得 n??X?0.8n?i?0.84n?0.8n??0.76n?0.8n?i?1P???? n?0.8?0.2n?0.8?0.2??n?0.8?0.2?????0.84n?0.8n??0.76n?0.8n??????????0.9, 0.16n?0.16n????n?n整理得 ??查表 ?0.95,?1.64, ??10?10?? n≥268.96, 故取n=269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各 机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】设需要供应车间至少m?15个单位的电能，这么多电能最多能 同时供给m部车床工作，我们的问题是求m。 把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中， 用X表示正在工作的机床数目，则X~B(200,0.7), E(X)?np?200?0.7?140,D(X)?np(1?p)?200?0.7?0.3?42, 根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 ?X?140m?140??m?140?0.95?P{X?m}?P??????? 42??42?42?查表知 m?140?1.64, ,m=151. 42所以供应电能151×15=2265（单位）. 4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vk（k?1,2,?,20），设它们是相互 独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V??Vk， k?120求P{V＞105}的近似值. 【解】易知: E(Vk)?5,D(Vk)?100/12(k?1,2,?,20)。由独立同分布的中心极限定理知，随机变量 Z??Vk?120V?20?5近似的?~N(0,1). 100100?20?201212k?20?5????V?20?5105?20?5??P{V?105}?P??? 于是 10100??20??20??12?12??????V?100??0.387??1??(0.387)?0.348, ?P??10?20????12?即有 P{V>105}≈0.348 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木 柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？ 【解】设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2）.由棣莫弗— 拉普拉斯定理得 ?30?np??X?np?P{X?30}?1?P{X?30}?1?P???np(1?p)np(1?p)???? ?30?100?0.2??1?????1??(2.5)?0.0062?100?0.2?0.8?6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言. （1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问 接受这一断言的概率是多少？ （2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问 接受这一断言的概率是多少？ ?1,第i人治愈,X?【解】设i??0,其他.i?1,2,?,100 ，则X1,X2,?,X100相互独 100立且服从相同的(0?1)分布，因此 X??Xi~B(100,p) i?1(1)当p?0.8时， X~B(100,0.8)，由 棣莫弗—拉普拉斯定理得 ?75?100?0.8?P{?Xi?75}?1?P{X?75}?1???? i?1?100?0.8?0.2?100 ?1??(?1.25)??(1.25)?0.8944. (2) 当p?0.7时， X~B(100,0.7)，由棣莫弗—拉普拉斯定理得 75?100?0.7??X?100?0.7P{?Xi?75}?1?P{X?75}?1?P???100?0.7?0.3?i?1?100?0.7?0.3 5?75?100?0.7??1????1??()?1??(1.09)?0.1379.?21?100?0.7?0.3?100 7. 用拉普拉斯中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中， 任取1000件，其中有20件废品的概率. 【解】设1000件中废品数为X，则 p?0.8，n?1000， X~B(1000,0.05)，