则kPA=
y1?2y?2（x1≠1），kPB=2（x2≠1）. x1?1x2?1∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA=－kPB.
由A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线上，得 y12=4x1， ① y22=4x2， ② ∴
. 1212y1?1y2?144∴y1+2=－（y2+2）.∴y1+y2=－4. 由①－②得直线AB的斜率
y1?2=－
y2?2kAB=
y2?y144==－=－1（x1≠x2）.
x2?x1y1?y24x2y28.（2003年北京东城区模拟题）从椭圆2+2=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，
ab恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB∥OM.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；
（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|=3，求椭圆的方程.
(?c)2y2解：（1）由已知可设M（－c，y），则有+2=1.
a2bb2∵M在第二象限，∴M（－c，）.
a又由AB∥OM，可知kAB=kOM.
bcb22∴－=－.∴b=c.∴a=2b.∴e==.
aa2ac（2）设|F1Q|=m，|F2Q|=n，
22
则m+n=2a，mn＞0.|F1F2|=2c，a=2c，
m2?n2?4c2∴cos∠F1QF2=
2mn(m?n)2?2mn?4c24a2?4c2==－1
2mn2mna2a2a2
=－1≥－1=2－1=0.当且仅当m=n=a时，等号成立.
m?n2mna()2π故∠F1QF2∈［0，］.
2（3）∵CD∥AB，kCD=－
b2=－. a2设直线CD的方程为y=－
22（x+c），即y=－（x+b）. 22x2y2 2+2=1，
ab则 消去y，整理得
2y=－（x+b）.
2222222
（a+2b）x+2abx－ab=0.
22
设C（x1，y1）、D（x2，y2），∵a=2b， 2a2b4b3∴x1+x2=－2=－2=－b， 2a?2b4ba2b22b4b2x1·x2=－2=－2=－. 22a?2b4b∴|CD|=1?k2|x1－x2|=1?k2·(x1?x2)2?4x1x2 =1?(?2
9222b=3. )·(?b)2?2b2=222
∴b=2，则a=4.
x2y2∴椭圆的方程为+=1.
42探究创新
9.（2005年春季上海，22）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（－2，－2）的椭圆的标准方程.
x2y2（2）已知椭圆C的方程是2+2=1（a>b>0）.设斜率为k的直线l交椭圆C于A、Bab两点，AB的中点为M.证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.
x2y2（1）解：设椭圆的标准方程为2+2=1，a>b>0，
aby2x2∴a=b+4，即椭圆的方程为2+=1.
b?4b22
2
∵点（－2，－2）在椭圆上，
42+=1. 22b?4b22
解得b=4或b=－2（舍）.
∴
x2y2由此得a=8，即椭圆的标准方程为+=1.
84（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m， 与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2）， y=kx+m，
2
则有 x22
y2+=1. a2b222
2
2
22
22
解得（b+ak）x+2akmx+am－ab=0.
∵Δ>0，∴m 2 2 22 2a2km2b2m则x1+x2=－2，y1+y2=kx1+m+kx2+m=2， b?a2k2b?a2k2a2kmb2m∴AB中点M的坐标为（－2，2）. 2222b?akb?ak∴线段AB的中点M在过原点的直线bx+aky=0上. （3）解：如下图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连结直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连结直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心. 2 2 ●思悟小结 在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系，正是高考命题的热点，为此在学习时应抓住以下几点： 1.客观题求解时应注意画图，抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决. 2.四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一. 3.注意用好以下数学思想、方法： ①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转化思想；⑥分类思想. 除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形结合思想、主元分析思想、正难则反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法.在复习中必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力. ●教师下载中心 教学点睛 本节是圆锥曲线的综合应用，主要是曲线方程的运用、变量范围的计算、最值的确定等，解决这类问题的关键是依据解析几何本身的特点，寻找一个突破口，那么如何找到解决问题的突破口呢？ （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系.（2）建立目标函数，转化为求函数的最值问题.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思.（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.因此，它们的应用价值在于：①通过参数θ简明地表示曲线上 点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题. （5）构造一个二次方程，利用判别式Δ≥0. 拓展题例 2 【例1】 （2005年启东市第二次调研题）抛物线y=4px（p>0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点. （1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x0>3p； 23 （2）若直线l的斜率依次为p，p，p，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为 N1，N2，N3，…，当0 111++…+的值. |N1N2||N2N3||N10N11|2 （1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y=4px. 22222 得kx+（2kp－4p）x+kp=0. 222222 Δ=4（kp－2p）－4k·kp>0，得0 2k2p?4p4p令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=－，y， 1+y2=k（x1+x2+2p）= kk22p?k2p2pAB中点坐标为（，）. 2kk2p?k2p2p1AB垂直平分线为y－=－（x－）. kkk2k2p?2p2p令y=0，得x0==p+. 22kk由上可知0 23 （2）解：∵l的斜率依次为p，p，p，…时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，…（0 ∴点Nn的坐标为（p+ 2 2p2n?1，0）. |NnNn+1|=|（p+ 2p2n?1）－（p+ 2p2n?12(1?p2)）|=， p2n?11p2n?1=， |NnNn?1|2(1?p2)