311＞，与b＜矛盾. 22211222

因此必有b≥成立，于是当y=－时d（从而d）有最大值，由题设得（7）=4b+3，

22由此可得b=1，a=2.

得b=7－

x22

故所求椭圆的直角坐标方程是+y=1.

4111由y=－及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－3，－），点（3，－）到点

222P的距离都是7.

解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是

x=acosθ，

其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π， y=bsinθ，

3，∴a=2b. 2设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则

13322

d2=x2+（y－）2=a2cos2θ+（bsinθ－）2=－3b2·（sinθ+）+4b+3.

222b113 22

如果＞1，即b＜，则当sinθ=－1时，d（从而d）有最大值，由题设得（7）=（b+）

2b223112

，由此得b=7－＞，与b＜矛盾.

22211222

因此必有≤1成立，于是当sinθ=－时，d（从而d）有最大值，由题设得（7）=4b+3.

2b2b x=2cosθ， 由此得b=1，a=2.所以椭圆参数方程

y=sinθ.

∵e=

?11x223消去参数得+y=1，由sinθ=，cosθ=±知椭圆上的点（－3，－），（3，

2242－

1）到P点的距离都是7. 2评述：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论. 深化拓展

根据图形的几何性质，以P为圆心，以7为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P的距

离为7，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.

322

x+（y－）=7，

2提示：由 2

22

x+4y=4b，

922

=4b－7，由Δ=0得b=1， 422

即椭圆方程为x+4y=4.

得3y+3y－

2

所求点为（－3，－

11）、（3，－）. 22●闯关训练

夯实基础

1.（2005年北京东城区目标检测）以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为

10?2 35?1C.

2A.

5?1 310?2 D.

2 B.

解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=答案：D

10?2. 2x2y22.已知F1（－3，0）、F2（3，0）是椭圆+＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠

mn2πF1PF2＝时，△F1PF2的面积最大，则有

3A.m=12，n=3 B.m=24，n=6

3C.m=6，n= D.m=12，n=6

2解析：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3. 答案：A

13.（2005年启东市第二次调研）设P1（2，2）、P2（－2，－2），M是双曲线y=

x上位于第一象限的点，对于命题①|MP2|－|MP1|=22；②以线段MP1为直径的圆与圆x+y=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于

2

2

2|MP1|.其中所有正确命题的序号2是____________.

解析：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP1|可知正确.

答案：①②③

22

4.（2004年全国Ⅱ，15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x－2y=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.

解析：双曲线中，a=

1c=b，∴F（±1，0），e==2.∴椭圆的焦点为（±1，0），离2a2x22

心率为.∴长半轴长为2，短半轴长为1.∴方程为+y=1.

22x22

答案：+y=1

2222

5.（1）试讨论方程（1－k）x+（3－k）y=4（k∈R）所表示的曲线；

y2x2（2）试给出方程2+=1表示双曲线的充要条件.

k?k?66k2?k?1解：（1）3－k>1－k>0?k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆； 1－k>3－k>0?k∈（－3，－1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1－k=3－

2

k2>0?k=－1，表示的是一个圆；（1－k）（3－k）<0?k∈（－∞，－3）∪（1，3），

2

2

表示的是双曲线；k=1，k=－3，表示的是两条平行直线；k=3，表示的图形不存在.

（2）由（k+k－6）（6k－k－1）<0?（k+3）（k－2）（3k+1）（2k－1）<0?k∈（－3，－

2

2

11）∪（，2）. 322

6.（2003年湖北八市模拟题）已知抛物线y=2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.

（1）求证：点A、B关于x轴对称； （2）求△AOB外接圆的方程. （1）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），

2222

∵|OA|=|OB|，∴x1+y1=x2+y2.

2222

又∵y1=2px1，y2=2px2，∴x2－x1+2p（x2－x1）=0，即（x2－x1）（x1+x2+2p）=0. 又∵x1、x2与p同号，∴x1+x2+2p≠0.∴x2－x1=0，即x1=x2. 由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称. （2）解：由（1）知∠AOx=30°，则 y2=2px， x=6p，

∴ 3y=x y=23p.

3∴A（6p，23p）.

方法一：待定系数法，△AOB外接圆过原点O，且圆心在x轴上，可设其方程为x+y+dx=0. 将点A（6p，23p）代入，得d=－8p.

故△AOB外接圆方程为x+y－8px=0.

方法二：直接求圆心、半径，设半径为r，则圆心（r，0）. 培养能力

2

7.（理）（2004年北京，17）如下图，过抛物线y=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0） （y0

＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）.

（1）求该抛物线上纵坐标为

2

2

2

2

p的点到其焦点F的距离； 2 （2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求非零常数.

y1?y2的值，并证明直线AB的斜率是y0ppp2

时，x=.又抛物线y=2px的准线方程为x=－， 282pp5p由抛物线定义得所求距离为－（－）=.

828（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.

22

由y1=2px1，y0=2px0，相减得（y1－y0）（y1+y0）=2p（x1－x0），

解：（1）当y=故kPA=

y1?y02p=（x1≠x0）.

x1?x0y1?y02p（x2≠x0）.

y2?y02p2p=－，所以y1+y2=－2y0，

y1?y0y2?y0同理可得kPB=

由PA、PB倾斜角互补知kPA=－kPB，即

故

y1?y2=－2. y0设直线AB的斜率为kAB.

22

由y2=2px2，y1=2px1，相减得（y2－y1）（y2+y1）=2p（x2－x1）， 所以kAB=

y2?y12p=（x1≠x2）.

x2?x1y1?y22pp=－，所以kAB是非零常数.

y1?y2y0将y1+y2=－2y0（y0＞0）代入得kAB=

（文）如下图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）、A（x1，y1）、

B（x2，y2）均在抛物线上.

（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.

2

解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y=2px.∵点P（1，2）在抛物线上，

2

∴2=2p·1，得p=2.

2

故所求抛物线的方程是y=4x，准线方程是x=－1. （2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.