311＞，与b＜矛盾. 22211222
因此必有b≥成立，于是当y=－时d（从而d）有最大值，由题设得（7）=4b+3，
22由此可得b=1，a=2.
得b=7－
x22
故所求椭圆的直角坐标方程是+y=1.
4111由y=－及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－3，－），点（3，－）到点
222P的距离都是7.
解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是
x=acosθ，
其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π， y=bsinθ，
3，∴a=2b. 2设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则
13322
d2=x2+（y－）2=a2cos2θ+（bsinθ－）2=－3b2·（sinθ+）+4b+3.
222b113 22
如果＞1，即b＜，则当sinθ=－1时，d（从而d）有最大值，由题设得（7）=（b+）
2b223112
，由此得b=7－＞，与b＜矛盾.
22211222
因此必有≤1成立，于是当sinθ=－时，d（从而d）有最大值，由题设得（7）=4b+3.
2b2b x=2cosθ， 由此得b=1，a=2.所以椭圆参数方程
y=sinθ.
∵e=
?11x223消去参数得+y=1，由sinθ=，cosθ=±知椭圆上的点（－3，－），（3，
2242－
1）到P点的距离都是7. 2评述：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论. 深化拓展
根据图形的几何性质，以P为圆心，以7为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P的距
离为7，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.
322
x+（y－）=7，
2提示：由 2
22
x+4y=4b，
922
=4b－7，由Δ=0得b=1， 422
即椭圆方程为x+4y=4.
得3y+3y－
2
所求点为（－3，－
11）、（3，－）. 22●闯关训练
夯实基础
1.（2005年北京东城区目标检测）以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为
10?2 35?1C.
2A.
5?1 310?2 D.
2 B.
解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=答案：D
10?2. 2x2y22.已知F1（－3，0）、F2（3，0）是椭圆+＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠
mn2πF1PF2＝时，△F1PF2的面积最大，则有
3A.m=12，n=3 B.m=24，n=6
3C.m=6，n= D.m=12，n=6
2解析：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3. 答案：A
13.（2005年启东市第二次调研）设P1（2，2）、P2（－2，－2），M是双曲线y=
x上位于第一象限的点，对于命题①|MP2|－|MP1|=22；②以线段MP1为直径的圆与圆x+y=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于
2
2
2|MP1|.其中所有正确命题的序号2是____________.
解析：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP1|可知正确.
答案：①②③
22
4.（2004年全国Ⅱ，15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x－2y=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.
解析：双曲线中，a=
1c=b，∴F（±1，0），e==2.∴椭圆的焦点为（±1，0），离2a2x22
心率为.∴长半轴长为2，短半轴长为1.∴方程为+y=1.
22x22
答案：+y=1
2222
5.（1）试讨论方程（1－k）x+（3－k）y=4（k∈R）所表示的曲线；
y2x2（2）试给出方程2+=1表示双曲线的充要条件.
k?k?66k2?k?1解：（1）3－k>1－k>0?k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆； 1－k>3－k>0?k∈（－3，－1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1－k=3－
2
k2>0?k=－1，表示的是一个圆；（1－k）（3－k）<0?k∈（－∞，－3）∪（1，3），
2
2
表示的是双曲线；k=1，k=－3，表示的是两条平行直线；k=3，表示的图形不存在.
（2）由（k+k－6）（6k－k－1）<0?（k+3）（k－2）（3k+1）（2k－1）<0?k∈（－3，－
2
2
11）∪（，2）. 322
6.（2003年湖北八市模拟题）已知抛物线y=2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.
（1）求证：点A、B关于x轴对称； （2）求△AOB外接圆的方程. （1）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），
2222
∵|OA|=|OB|，∴x1+y1=x2+y2.
2222
又∵y1=2px1，y2=2px2，∴x2－x1+2p（x2－x1）=0，即（x2－x1）（x1+x2+2p）=0. 又∵x1、x2与p同号，∴x1+x2+2p≠0.∴x2－x1=0，即x1=x2. 由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称. （2）解：由（1）知∠AOx=30°，则 y2=2px， x=6p，
∴ 3y=x y=23p.
3∴A（6p，23p）.
方法一：待定系数法，△AOB外接圆过原点O，且圆心在x轴上，可设其方程为x+y+dx=0. 将点A（6p，23p）代入，得d=－8p.
故△AOB外接圆方程为x+y－8px=0.
方法二：直接求圆心、半径，设半径为r，则圆心（r，0）. 培养能力
2
7.（理）（2004年北京，17）如下图，过抛物线y=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0） （y0
＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）.
（1）求该抛物线上纵坐标为
2
2
2
2
p的点到其焦点F的距离； 2 （2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求非零常数.
y1?y2的值，并证明直线AB的斜率是y0ppp2
时，x=.又抛物线y=2px的准线方程为x=－， 282pp5p由抛物线定义得所求距离为－（－）=.
828（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.
22
由y1=2px1，y0=2px0，相减得（y1－y0）（y1+y0）=2p（x1－x0），
解：（1）当y=故kPA=
y1?y02p=（x1≠x0）.
x1?x0y1?y02p（x2≠x0）.
y2?y02p2p=－，所以y1+y2=－2y0，
y1?y0y2?y0同理可得kPB=
由PA、PB倾斜角互补知kPA=－kPB，即
故
y1?y2=－2. y0设直线AB的斜率为kAB.
22
由y2=2px2，y1=2px1，相减得（y2－y1）（y2+y1）=2p（x2－x1）， 所以kAB=
y2?y12p=（x1≠x2）.
x2?x1y1?y22pp=－，所以kAB是非零常数.
y1?y2y0将y1+y2=－2y0（y0＞0）代入得kAB=
（文）如下图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）、A（x1，y1）、
B（x2，y2）均在抛物线上.
（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.
2
解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y=2px.∵点P（1，2）在抛物线上，
2
∴2=2p·1，得p=2.
2
故所求抛物线的方程是y=4x，准线方程是x=－1. （2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.