与x??ai?1nin?A. 由此命题得证. na2b2?a??b (其中a,b为参数). 3．解关于x的方程xxa2?b2??(a?b) (1) 若a?b?0, 方程(1)的解为不等于0解 原方程同解变形为:

x的任何实数; 若a?b?0, 但a?b?0, 则方程(1)无解; 若a?b?0, 但a?b?0, 方程(1)的解为x??1. a?b11?1??x. xx4．解方程x?解 对原方程配方变形，有

0?2x?2x?111111?21??[(x?)?2x?]?[(x?1)?21??]xxxxxx?1x??1,?112?x2方程组同解于x?x?1?0.解之取?(x??1)2?(x?1?). 得?xx?x?1?1.?x?正值，得x?1?5. 2225．求方程5x?6xy?2y?14x?8y?10?0的所有实数解.

解 将原方程拆项4x?4xy?y?12x?6y?x?2xy?y?2x?2y?1?0.整理得

2222(2x?y)2?6(2x?y)?(x?y)2?2(x?y)?1?0.配方得(2x?y?3)2?(x?y?1)2?0. (3)

2??x?0?(2x?y?3)?0,所以(3)同解于方程组? 解之得. ?2??y??1 ?(x?y?1)?0. 6．在实数解关于x的方程: x?a?a?x.

2解 方程有解必须a?0且x?0, 此时方程同解于a?x?a?x. 由

a?x?x2?a?x?x, 有(a?x?x)(a?x?x?1)?0.?a?x?x?0 (1)或

a?x?x?1 (2)a?0,x?0, 所以要使(1)有解, 必须a?0,x?0.

?1?4a?3.

2方程(2)只有当a?1时有解: x?综上所述, 当a?0或0?a?1时,方程无解; 当a?0时,方程的解为x?0; 当a?1时, 方程的解为x??1?4a?3.

27．解方程4?x?解

x2?4.

x2?4?2,?4?x?2, 解得?2?x?2.

3. 232当0?x?2时，原方程可变形为(4?x)2?(x2?4)2,即8x?12,解得x?当?2?x?0时, 原方程可变形为(4?x)2?(x2?4)2,即8x??12,解得x??.

8．解方程:

loga4ax?logx4ax?loga4xx?logx4?a,其中a为实参数. aa解 要使原方程有意义, 必须a?0,a?1,x?0,x?1.将原方程中的对数化成以a为底

(1?logax)2(logax?1)2??a.即的对数, 并整理得4logax4logax1?logax?logax?1?2alogax. (1)

2(1)当logax?1时, 方程(1)为2logax?2alogax,即logax?a?1.由

a?0,a?1, 得a?1,故方程(1)的解为x1?a,即为原方程的解.

?2(2)当0?logax?1时, 方程(1)为2?2alogax,即logax?a?1.由a?0,a?1,a2得a?1,故方程(1)的解为x2?aa,即为原方程的解.

所以当a?1,原方程的解为x?aa,x?aa;当a?1时, 原方程无解. 9．解方程log(16?3x)(x?2)?log822.

2?2?2?x?2?0,?16?3x?0,1?解 由于log822?,原方程同解于?解这个混合方程组, 得原方

16?3x?1,2??16?3x?x?2.?程的根为x?4.

x?10．解方程: 4x2?2?5?2x?1?2(x?x2?2)x2?2?6?0

x2?2解 原方程可变形为25??2x?2?6?0.设2(x?x2?2)?y,有

5y?6?0.解得正根为y?4,于是2(x?23得原方程的根为x?.

2y2?11．解方程组?x2?2)?4.?x?x2?2?2.解这个无理方程,

?x?y?a,?x?y?a.555(a?0)

?x?y?a,?x?y?a,解 原方程组可变形为(I)? 或(II)?2xy?0.??xy?a.?a?a3i?a?a3ix?,?x?,??x?a,?x?0,??22解(I)得? ? 解(II)得? ??y?0;?y?a.?y?a?a3i;?y?a?a3i.???2?21?xy???xy?12．解方程组??xy?1??xy?x?yx?yy?13, (1)x

y?12. (2)xy?2xy?2??25, ?yx?解 (1)?(2),(1)?(2), 得方程组?令xy?u,?v, 方程组变形

x?2?2?x?1. y??xy5?5xy?,?u?10,??xy?10,?2u?2v?25, ???u?,???2

为?22解得?2 即(I)?y5 (II)?5 ?v?;???1. ?;????y?10.?2?v?10.?uv?x2??x1?1?x?,x??,?x1?2,?x2??2,?3?4(II)解(I)得? 解得2?2 ???y1?5;?y2??5.??y4??5.?y3?5;??x?y?z?10, (1)?13．解方程组?xy?yz?zx?33, (2)

?(x?y)(y?z)(z?x)?294. (3)??x?y?z?10, ?解 方程(3)可变形为xyz?36, 由韦达定理则可看出?xy?yz?zx?33,的解即为关

?xyz?36. ?32于t的三次方程t?10t?33t?36?0的根. 可求得t的值为t1,2?3,t3?4.进而求得原方

?x1?3,?x2?3,?x3?4,???程的组的解为?y1?3?y2?4?y3?3

?z?4;?z?3;?z?3.?1?2?3x?yx?y??x?y,(1)14．解方程组? (如果底数和指数是变量, 只考虑使底数取正值的情

??xy?1. (2)形.)

解 由方程(2)可得y?x,以此代入方程(1)得方程xx?x1?2?12?x11?2x?x221.(3) 因为x?0,31?2x?x221所以方程(3)的两端总取正值. 以方程(3)的右端的表达式除等式(3)的两端得x然, x?1是这个方程的解, 从而由方程(2)得y?1,于是??1.显

?x?1是原方程组的解. ?y?131131?12当x?x?0时, 由此可得x2?,x?3,从而由方程(2)得y?33.经检验可

32291?x?,?39也是原方程组的解. 知??y?33.??x2?y2?15．解方程4x?3y?2x??.??表示取整 2x???y2?3y?y2?3y??2?.令?t, 解 原方程可变形为4x?3y?2x?1?2?, 因x?0, 即1?2x2x?x??x?2?42?4t?9t?9?0,?42?则1?t??t?, 又1?t?t?2?t, 即?2因t?Z,解得t??1或t?3,99????4t?9t?18?0.故原方程的解为y??22x或y?2x(x?R且x?0). 316．解方程x?3x?4?2x?1?1.