大学物理课后习题答案第二章 下载本文

总转动惯量为

1?m(R22?R12)2.

2.27 一矩形均匀薄板,边长为a和b,质量为M,中心O取为原点,坐标系OXYZ

如图所示.试证明:

(1)薄板对OX轴的转动惯量为

Y a 12IOX?12Mb;

(2)薄板对OZ轴的转动惯量为

[证明] 薄板的面积为S = ab, 质量面密度为σ = M/S.

(1)在板上取一长为a,宽为dy的矩形元,其面积为dS = ady, 其质量为dm =σdS,

绕X轴的转动惯量为dIOX = y2dm = σay2dy, 积分得薄板对OX轴的转动惯量为

IOZ?1M(a2?b2)12.

b Z O X 图2.27

1IOX??a?y2dy??ay33?b/211??ab3?Mb21212.

IOY?1Ma212.

b/2b/2?b/2

Y a r y O` X x Z` 同理可得薄板对OY轴的转动惯量为

b O Z (2)方法一:平行轴定理.在板上取一长为b,宽为 dx的矩形元,其面积为dS = bdx, 质量为dm = σdS,

绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX轴的转动惯量dIO`Z` = b2dm/12.

根据平行轴定理,矩形元对OZ轴的转动惯量为 dIOZ = x2dm + dIO`Z` = σbx2dx + b2dm/12, 积分得薄板对OZ轴的转动惯量为

IOZM1122??b?xdx?b?dm??bx31203?a/2a/2a/2??a/212bM?1M(a2?b2)1212.

方法二:垂直轴定理.在板上取一质量元dm,绕OZ轴的转动惯量为dIOZ = r2dm.

由于r2 = x2 + y2,所以dIOZ = (x2 + y2)dm = dIOY + dIOX, 因此板绕OZ轴的转动惯量为

IOZ?IOY?IOX?1M(a2?b2)12.

2.28 一半圆形细杆,半径为R,质量为M,求对过细杆二端AA`轴的转动惯量.

[解答]半圆的长度为C = πR,质量的线密度为λ = M/C. 在半圆上取一弧元ds = Rdθ,其质量为dm = λds,

到AA`轴的距离为r = Rsinθ,绕此轴的转动惯量为dI = r2dm = λR3sin2θdθ, 半圆绕AA`轴的转动惯量为

2.29 如图所示,在质量为M,半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔.圆孔中心在圆盘半径的中点.求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.

[解答]大圆的面积为S = πR2,

r 13

A R O θ A` 图2.28

R r 图2.29

质量的面密度为σ = M/S.

大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为IM = MR2/2. 小圆的面积为s = πr2,质量为m = σs,

绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为IC = mr2/2, 根据平行轴定理,绕大圆轴的转动惯量为

Im = IC + m(R/2)2.

1r21222???r(2r?R)?M2(2r2?R2)44R,

剩余部分的转动惯量为

12r422I?IM?2Im?M(R?r?2)2R.

2.30 飞轮质量m = 60kg,半径R = 0.25m,绕水平中心轴O转动,转速为900r·min-1.现利用一制动用的轻质闸瓦,在剖杆一端加竖直方向的制动力F,可使飞轮减速.闸杆尺寸

如图所示,闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ = 0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.

(1)设F = 100N,问可使飞轮在多长时间内停止转动?这段时间飞轮转了多少转? (2)若要在2s内使飞轮转速减为一半,需加多大的制动力F? [解答]设飞轮对闸瓦的支持力为N`,以左端为转动轴, 在力矩平衡时有:0.5N` – 1.25F = 0, 所以:N`=2.5F = 250(N).

闸瓦对飞轮的压力为;N = N`= 250(N), 与飞轮之间摩擦力为:f = μN = 100(N),

F 摩擦力产生的力矩为:M = fR. 0.50 0.75 飞轮的转动惯量为:I = mR2/2,

角加速度大小为:β = -M/I = -2f/mR = -40/3(rad·s-2), 负号表示其方向与角速度的方向相反. O -1

飞轮的初角速度为ω0 = 30π(rad·s).

图2.30 根据公式ω = ω0 + βt,当ω = 0时,t = -ω0/β = 7.07(s).

再根据公式ω2 = ω02 + 2βθ,可得飞轮转过的角度为θ = -ω02/2β = 333(rad), 转过的圈数为n = θ/2π = 53r.

[注意]圈数等于角度的弧度数除以2π.

(2)当t = 2s,ω = ω0/2时,角加速度为β = -ω0/2t = -7.5π.力矩为M = -Iβ, 摩擦力为f = M/R = -mRβ/2 = (7.5)2π.闸瓦对飞轮的压力为N = f/μ, 需要的制动力为F = N/2.5 = (7.5)2π = 176.7(N).

2.31一轻绳绕于r = 0.2m的飞轮边缘,以恒力F = 98N拉绳,如图(a)所示.已知飞轮的转动惯量I = 0.5kg·m2,轴承无摩擦.求

(1)飞轮的角加速度.

(2)绳子拉下5m时,飞轮的角速度和动能.

(3)将重力P = 98N的物体挂在绳端,如图(b)所示,再求上面的结果.

[解答](1)恒力的力矩为M = Fr = 19.6(N·m),

-2

对飞轮产生角加速度为β = M/I = 39.2(rad·s).

(2)方法一:用运动学公式.飞轮转过的角度为

θ = s/r = 25(rad),

m 由于飞轮开始静止,根据公式ω2 = 2βθ,可得角速度为

F=98N P=98N

??2??-1(b) (a) = 44.27(rad·s);

飞轮的转动动能为Ek = Iω2/2 = 490(J). 图2.31

方法二:用动力学定理.拉力的功为W = Fs = 490(J), 根据动能定理,这就是飞轮的转动动能Ek.

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根据公式Ek = Iω2/2,得角速度为

= 44.27(rad·s-1).

(3)物体的质量为m = P/g = 10(kg).设绳子的张力为T,则P – T = ma,Tr = Iβ. 由于a = βr,可得Pr = mr2β + Iβ,解得角加速度为

??2Ek/I??Prmr2?I= 21.8(rad·s-2).

绳子的张力为

T?I?IP?rmr2?I= 54.4(N).

张力所做的功为W` = Ts = 272.2(J),

这就是飞轮此时的转动动能E`k.飞轮的角速度为= 33(rad·s-1).

2.32质量为m,半径为R的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动,如图所示.盘与水平面的摩擦因数为μ,圆盘从初角速度为ω0到停止转动,共转了多少圈?

[解答]圆盘对水平面的压力为N = mg,

ω0 压在水平面上的面积为S = πR2,压强为p = N/S = mg/πR2.

当圆盘滑动时,在盘上取一半径为r、对应角为dθ面积元, O R 其面积为dS = rdθdr,

对水平面的压力为dN = pdS = prdrdθ,

图2.32

所受的摩擦力为df = μdN = μprdrdθ,

其方向与半径垂直,摩擦力产生的力矩为dM = rdf = μpr2drdθ, 总力矩为

?`?2Ek`/IM??2?0?R0132?2π?pR??mgR?prdrd?33.

2圆盘的转动惯量为I = mR2/2,

角加速度大小为

???M4?g??I3R,

负号表示其方向与角速度的方向相反.

根据转动公式ω2 = ω02 + 2βθ,当圆盘停止下来时ω = 0,所以圆盘转过的角度为

22?03?0R????2?8?g,

转过的圈数为

23?0R?n??2?16??g.

[注意]在圆盘上取一个细圆环,其面积为ds = 2πrdr,这样计算力矩等更简单。 2.33一个轻质弹簧的倔强系数为k = 2.0N·m-1.它的一端固定,另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为m1 = 80g的物体相连,如图所示.定滑轮可看作均匀圆盘,它的半径为r = 0.05m,质量为m = 100g.先用手托住物体m1,使弹簧处于其自然长度,然后松手.求物体m1下降h = 0.5m时的速度多大?忽略滑轮轴上的摩擦,并认为绳在滑轮边上不打滑.

[解答]根据机械能守恒定律可列方程 m m1gh?2

111m1v2?I?2?kh2222,

其中I = mr/2,ω = v/r,可得

2m1gh – kh2 = m1v2 + mv2/2,

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图2.33 r m1 h m1

解得

v?= 1.48(m·s-1).

2.34均质圆轮A的质量为M1,半径为R1,以角速度ω绕OA杆的A端转动,此时,将其放置在另一质量为M2的均质圆轮B上,B轮的半径为R2.B轮原来静止,但可绕其几何中心轴自由转动.放置后,A轮的重量由B轮支持.略去轴承的摩擦与杆OA的重量,并设两轮间的摩擦因素

为μ,问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止,需要经过多长时间?

[解答]圆轮A对B的压力为 N = M1g,

O 两轮之间的摩擦力大小为 f = μN = μM1g,

摩擦力对A的力矩大小为MA = fR1 = μM1gR1, 摩擦力对B的力矩大小为MB = fR2 = μM1gR2,

设A和B的角加速度大小分别为βA和βB,转动惯量分别为IA和IB, 根据转动定理得方程MA = IAβA, 即 βA = MA/IA. 同理可得βB = MB/IB.

当两轮没有相对滑动时,它们就具有相同的线速度v,A的角速度为ωA = v/R1, B的角速度为ωB = v/R2.

根据转动运动学的公式得ωA – ω = -βAt,ωB = βBt, 即 v/R1 – ω = -βAt,v/R2 = βBt, 化得 v - ωR1 = -βAR1t,v = βBR2t, 将后式减前式得ωR1 = (R1βA + R2βB)t, 解得 经过的时间为

2m1gh?kh2m1?m/2A R1 B R2 t??M2R12?g(M1?M2).

[注意]在此题中,由于A、B两轮不是绕着同一轴转动的,所以不能用角动量守恒定律. 如果A轮的轮面放在B轮的轮面之上,且两轮共轴,在求解同样的问题时,既可以用转动定律求解,也可以结合角动量守恒定律求解.

当它们之间没有滑动时,角动量为ω`,根据角动量守恒定律得

A B IAω = (IA+IB)ω`,

R1 因此得ω` = IAω/(IA + IB). R2 (1)设R1≦R2,那么A轮压在B轮上的面积为S = πR12, 压强为p = M1g/S = M1g/πR12.

当A轮在B轮上产生滑动时,在A轮上取一半径为r、对应角为dθ面积元,其面积为dS = rdθdr,

对B轮的压力为dN = pdS = prdrdθ, 所受的摩擦力为df = μdN = μprdrdθ,

其方向与半径垂直,摩擦力产生的力矩为dM = rdf = μpr2drdθ, 总力矩为

12?2π?pR13??M1gR133.

这是A轮所受的力矩,也是B轮所受的力矩.根据转动定理得B轮的角加速度为βB = M/IB.

根据转动公式ω` = βBt,得时间为

?M1R12/2M2R22/2??22M1R1/2?M2R2/22?M1gR1/3,

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