12k11mv?(n?1?n?1)2n?1xx0，

因此

2k11v?(n?1?n?1)(n?1)mxx0即 ． 当n = 2时，即证明了本题的结果．

2．9 一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：

（1）小球速率随时间的变化关系v(t)； （2）小球上升到最大高度所花的时间T．

[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程

dvdt，

dvmd(mg?kv)dt??m??mg?kvkmg?kv， 分离变量得f??mg?kv?mmln(mg?kv)?Ck积分得．

mC?ln(mg?kv0)k当t = 0时，v = v0，所以，

mmg?kvmmg/k?vt??ln??lnkmg?kv0kmg/k?v0，

因此

t??小球速率随时间的变化关系为

v?(v0?mgktmg)exp(?)?kmk．

（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为

T?kvmmg/k?v0mln?ln(1?0)kmg/kkmg．

mgktmg)exp(?)?]dtkmk，

[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤：

由于v = dx/dt，所以

dx?[(v0?即

dx??m(v0?mg/k)ktmgdexp(?)?dtkmk，

积分得

x??m(v0?mg/k)ktmgexp(?)?t?C`kmk， C`?m(v0?mg/k)k，

当t = 0时，x = 0，所以

因此

x?m(v0?mg/k)ktmg[1?exp(?)]?tkmk．

（2）如果小球以v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为

5

f?mg?kv?mdvdt，

用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为

v?mgmgkt?(?v0)exp(?)kkm．

这个公式可将上面公式中的g改为-g得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率

趋于常数vm = mg/k．

2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，求此后时刻t物体的速率以及从A点开始所经过的路程．

[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即 A v0 2

N = mv/R．

R 物体所受的摩擦力为f = -μkN，

负号表示力的方向与速度的方向相反．

图2.10 根据牛顿第二定律得

?kv2dvdvdt??2f???km?mv． Rdt， 即 ： R?k1t??Cv积分得：R．

1C??v0，

当t = 0时，v = v，所以

0

v011t??v?Rvv0．解得 1??kv0t/R．

因此

由于

?kdx?v0dtRd(1??kv0t/R)?1??kv0t/R?k1??kv0t/R， x?Rln(1?积分得

?kv0tR?k)?C`，

x?R当t = 0时，x = x0，所以C = 0，因此．

2．11 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．

ω [解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为

珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mgtgθ．

珠子做圆周运动的半径为r = Rsinθ． 根据向心力公式得F = mgtgθ = mω2Rsinθ，

θ R 可得

r m mg2?R? cos?mg ，

图2.11 g?kln(1??kv0tR)???arccos解得

R?2．

(二)力学中的守恒定律

6

2．12 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而位移x = Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．

[解答]方法一：利用冲量公式．

根据冲量的定义得dI = Fdt = -kAcosωtdt， 积分得冲量为 F m I??π/2?0(?kAcos?t)dt，

方法二：利用动量定理．

小球的速度为v = dx/dt = -ωAsinωt，

设小球的质量为m，其初动量为p1 = mv1 = 0， 末动量为p2 = mv2 = -mωA，

小球获得的冲量为I = p2 – p1 = -mωA， 可以证明k =mω2，因此I = -kA/ω．

2．13一个质量m = 50g，以速率的v = 20m·s-1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？

Δp p1 [解答]小球动量的大小为p = mv，

p2 但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义

p1

?p?p2?p1得：p2?p1??p，

m R 由此可作矢量三角形，可得：?p?2p?2mv． 因此向心力给予小球的的冲量大小为I??p= 1.41(N·s)．

2

[注意]质点向心力大小为F = mv/R，方向是指向圆心的，其方向在 不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量

O x 图2.12 x ?mv2?R/TT??mvR42．

假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R运动，拉力的大小就是向心力

F = mv2/R = mωv， 其分量大小分别为 y Fx = Fcosθ = Fcosωt，

F m xFy = Fsinθ = Fsinωt，

给小球的冲量大小为 F Fy dIx = Fxdt = Fcosωtdt，

O dIy = Fydt = Fsinωtdt， R x 积分得

F??mv?， F??mv?，

合冲量为

，

与前面计算结果相同，但过程要复杂一些．

2．14 用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？

[解答]球上升初速度为

22I?Ix?Iy?2mvvy?2gh= 14(m·s-1)，

vy

Δv vx

其速度的增量为= 24.4(m·s-1)． 棒给球冲量为I = mΔv = 7.3(N·s)，

7

22?v?vx?vy

对球的作用力为（不计重力）：F = I/t = 366.2(N)．

2．15 如图所示，三个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s-2）

[解答]物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程

C B Mg – T = Ma，

物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动， 加速度大小为a，可列方程：T = Ma， 联立方程可得：a = g/2 = 5(m·s-2)．

根据运动学公式：s = v0t + at2/2， 图2.15 A 可得B拉C之前的运动时间；t?2s/a= 0.4(s)． 此时B的速度大小为：v = at = 2(m·s-1)．

物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得：2Mv = 3Mv`， 因此C开始运动的速度为：v` = 2v/3 = 1.33(m·s-1)．

2．16 一炮弹以速率v0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？

[解答] 炮弹在最高点的速度大小为

v = v0cosθ，方向沿水平方向． v` 45° 根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的 v0 v 总动量，可作矢量三角形，列方程得

v` θ mmv/2?2v`cos45?，

0所以 v` = v/cos45° = ．

2．17 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的质量为m，它与路面的滑动摩擦因数为μk．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？

2vcos?[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧位移ds的大小为

ds = Rdθ． 重力G的大小为：G = mg，

方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为

45° N θ R F ds f mg 图2.17

??mgRsin?d?，

积分得重力所做的功为

2??(1?)mgR2．

摩擦力f的大小为：f = μkN = μkmgcosθ，

方向与弧位移的方向相反，所做的功元为

??ukmgcos?Rd?，

积分得摩擦力所做的功为

45????kmgRsin?0??2?kmgR2．

要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力G、摩擦力f和马的拉力F就是平衡力，即

8