大学物理课后习题答案第二章 下载本文

第二章 运动定律与力学中的守恒定律

(一) 牛顿运动定律

2.1 一个重量为P的质点,在光滑的固定斜面(倾角为α)上以初速度0运动,0的方向与斜面底边的水平约AB平行,如图所示,求这质点的运动轨道.

[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα,方向与初速度方向垂直.其运动方程为

vvy?x = v0t,

将t = x/v0,代入后一方程得质点的轨道方程为

121at?gsin??t222.

图2.1

这是抛物线方程.

2.2 桌上有一质量M = 1kg的平板,板上放一质量m = 2kg的另一物体,设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25,静摩擦因素为μs = 0.30.求:

(1)今以水平力F拉板,使两者一起以a = 1m·s-2的加速度运动,试计算物体与板、与桌面间的相互作用力;

Nm (2)要将板从物体下面抽出,至少需要多大的力?

fm [解答](1)物体与板之间有正压力和摩擦力的作用.

板对物体的支持大小等于物体的重力:Nm = mg = 19.6(N), NM a 这也是板受物体的压力的大小,但压力方向相反.

物体受板摩擦力做加速运动,摩擦力的大小为:fm = ma = 2(N),

fM 这也是板受到的摩擦力的大小,摩擦力方向也相反.

板受桌子的支持力大小等于其重力:NM = (m + M)g = 29.4(N), 这也是桌子受板的压力的大小,但方向相反.

板在桌子上滑动,所受摩擦力的大小为:fM = μkNM = 7.35(N). 这也是桌子受到的摩擦力的大小,方向也相反.

(2)设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动,物体的运动方程为 f =μsmg = ma`,

Nm 可得 a` =μsg.

f 板的运动方程为

a` F – f – μk(m + M)g = Ma`, NM 即 F = f + Ma` + μk(m + M)g

f F = (μs + μk)(m + M)g,

f ` 算得 F = 16.17(N).

因此要将板从物体下面抽出,至少需要16.17N的力.

2.3 如图所示:已知F = 4N,m1 = 0.3kg,m2 = 0.2kg,两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2.求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力.(绳子和滑轮质量均不计)

[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1,而力的关系为T1 = 2T2. 对两物体列运动方程得

a1 T2 - μm2g = m2a2, T1 F F – T1 – μm1g = m1a1. a2 m T2 m1 2 可以解得m2的加速度为 f f 21F??(m?2m)ggsin?2y?x2v0,

v0 P A

B α a2?12m1/2?2m2= 4.78(m·s),

-2

图2.3

绳对它的拉力为

T?m2(F??m1g/2)m1/2?2m2= 1.35(N).

2.4 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2.求证:

1

111??kk1k2; (1)它们串联起来时,总倔强系数k与k1和k2.满足关系关系式

(2)它们并联起来时,总倔强系数k = k1 + k2.

[解答]当力F将弹簧共拉长x时,有F = kx,其中k为总倔强系数. 两个弹簧分别拉长x1和x2,产生的弹力分别为

F1 = k1x1,F2 = k2x2.

(1)由于弹簧串联,所以F = F1 = F2,x = x1 + x2,

k1 (a) k1 F k2 图2.4

(b) k2 F 111FF1F2????kk1k2,即:kk1k2.

因此

(2)由于弹簧并联,所以F = F1 + F2,x = x1 = x2, 因此 kx = k1x1 + k2x2, 即:k = k1 + k2.

2.5 如图所示,质量为m的摆悬于架上,架固定于小车上,在下述各种情况中,求摆线的方向(即摆线与竖直线的夹角θ)及线中的张力T.

(1)小车沿水平线作匀速运动;

(2)小车以加速度1沿水平方向运动;

(3)小车自由地从倾斜平面上滑下,斜面与水平面成φ角; (4)用与斜面平行的加速度

ab1把小车沿斜面往上推(设b = b)

1

(5)以同样大小的加速度2(b2 = b),将小车从斜面上推下来.

[解答](1)小车沿水平方向做匀速直线运动时,摆在水平方向没有受到力的作用,摆线偏角为零,线中张力为T = mg.

(2)小车在水平方向做加速运动时,重力和拉力的合力就是合外力.由于

tanθ = ma/mg, 所以 θ = arctan(a/g); 绳子张力等于摆所受的拉力 :

(3)小车沿斜面自由滑下时,摆仍然受到重力和拉力, 合力沿斜面向下,所以θ = φ; T = mgcosφ.

(4)根据题意作力的矢量图,将竖直虚线延长, 与水平辅助线相交,可得一直角三角形,θ角的对边 是mbcosφ,邻边是mg + mbsinφ,由此可得:

bT?(ma)2?(mg)2?ma2?g2θ T ma mg (2)

tan??因此角度为

mbcos?mg?mbsin?,

θ T mb φ mg

图2.5 T θ mb mg φ 5) (bcos???arctang?bsin?;

而张力为

φ (5)与上一问相比,加速度的

( 4) 方向反向,只要将上一结果中的b改为-b就行了.

2.6 如图所示:质量为m =0.10kg的小球,拴在长度l =0.5m的轻绳子的一端,构成一个摆.摆动时,与竖直线的最大夹角为60°.求:

(1)小球通过竖直位置时的速度为多少?此时绳的张力多大? (2)在θ < 60°的任一位置时,求小球速度v与θ的关系式.这

T 时小球的加速度为多大?绳中的张力多大?

θ (3)在θ = 60°时,小球的加速度多大?绳的张力有多大? O l ma m 2 θ mg C φ B ( 3) 图2.6 ?mb2?g2?2bgsin?

[解答](1)小球在运动中受到重力和绳子的拉力,由于小球沿圆弧运动,所以合力方向沿着圆弧的切线方向,即F = -mgsinθ,负号表示角度θ增加的方向为正方向. O l 小球的运动方程为

m 2θ T ds F?ma?m2 dt, C B 其中s表示弧长.由于s = Rθ = lθ,所以速度为 mg dsd? v??ldtdt,

因此

F?mdvdvd?mdv?m?vdtd?dtld?,

即 vdv = -glsinθdθ, (1) 取积分

?vB0vdv??gl?sin?d?60?00,

12vB?glcos?260?,解得:

vB?gl= 2.21(m·s-1).

22vBvBTB?mg?m?m?mgRl由于:,

所以TB = 2mg = 1.96(N).

(2)由(1)式积分得

12vC?glcos??C2,

当 θ = 60o时,vC = 0,所以C = -lg/2,

因此速度为

vC?gl(2cos??1).

切向加速度为at = gsinθ;法向加速度为

2vCan??g(2cos??1)R.

由于TC – mgcosθ = man,所以张力为TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ – 1). (3)当 θ = 60o时,切向加速度为

at?3g2= 8.49(m·s-2),

法向加速度为 an = 0,

绳子的拉力T = mg/2 = 0.49(N).

[注意]在学过机械能守恒定律之后,求解速率更方便.

2.7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h高度时,它的速率多大?(要求用牛顿第二定律积分求解)

[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力,合力方向沿着曲线方向.设切线与竖直方向的夹角为θ,则

F = mgcosθ.

m 小球的运动方程为

d2sF?ma?m2dt,s表示弧长.

3

N h θ mg 图2.7

v?由于

dsdt,所以

d2sddsdvdvdsdv?()???vdt2dtdtdtdsdtds,

因此 vdv = gcosθds = gdh,h表示石下落的高度.

12v?gh?C2积分得 ,当h = 0时,v = 0,所以C = 0,

因此速率为

v?2gh.

f??kx2(k为常数)作用下沿直线运动.证

2.8 质量为m的物体,最初静止于x0,在力

明物体在x处的速度大小v = [2k(1/x – 1/x0)/m]1/2.

[证明]当物体在直线上运动时,根据牛顿第二定律得方程 利用v = dx/dt,可得

d2xdvdxdvdv???vdt2dtdtdxdx,

因此方程变为

mvdv??积分得

kdxx2,

12kmv??C2x .

利用初始条件,当x = x0时,v = 0,所以C = -k/x0,因此

即 . 证毕.

[讨论]此题中,力是位置的函数:f = f(x),利用变换可得方程:mvdv = f(x)dx,积分即可求解.

12kkmv??2xx0,

2k11v?(?)mxx012dxmv??k?nx. 如果f(x) = -k/xn,则得212mv??klnx?C(1)当n = 1时,可得2

x12mv?kln0x, 利用初始条件x = x0时,v = 0,所以C = lnx0,因此 22kx0v?lnmx. 即

12k1?nmv??x?C1?n(2)如果n≠1,可得2.利用初始条件x = x0时,v = 0,所以

k1?nC??x0n?1,

4