第二章 运动定律与力学中的守恒定律

(一) 牛顿运动定律

2．1 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0运动，0的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．

[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为

vvy?x = v0t，

将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为

121at?gsin??t222．

图2.1

这是抛物线方程．

2．2 桌上有一质量M = 1kg的平板，板上放一质量m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25，静摩擦因素为μs = 0.30．求：

（1）今以水平力F拉板，使两者一起以a = 1m·s-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；

Nm （2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？

fm [解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．

板对物体的支持大小等于物体的重力：Nm = mg = 19.6(N)， NM a 这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．

物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：fm = ma = 2(N)，

fM 这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．

板受桌子的支持力大小等于其重力：NM = (m + M)g = 29.4(N)， 这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．

板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：fM = μkNM = 7.35(N)． 这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．

（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为 f =μsmg = ma`，

Nm 可得 a` =μsg．

f 板的运动方程为

a` F – f – μk(m + M)g = Ma`， NM 即 F = f + Ma` + μk(m + M)g

f F = (μs + μk)(m + M)g，

f ` 算得 F = 16.17(N)．

因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N的力．

2．3 如图所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计）

[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1，而力的关系为T1 = 2T2． 对两物体列运动方程得

a1 T2 - μm2g = m2a2， T1 F F – T1 – μm1g = m1a1． a2 m T2 m1 2 可以解得m2的加速度为 f f 21F??(m?2m)ggsin?2y?x2v0，

v0 P A

B α a2?12m1/2?2m2= 4.78(m·s)，

-2

图2.3

绳对它的拉力为

T?m2(F??m1g/2)m1/2?2m2= 1.35(N)．

2．4 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：

1

111??kk1k2； （1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式

（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2．

[解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数． 两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为

F1 = k1x1，F2 = k2x2．

（1）由于弹簧串联，所以F = F1 = F2，x = x1 + x2，

k1 (a) k1 F k2 图2.4

(b) k2 F 111FF1F2????kk1k2，即：kk1k2．

因此

（2）由于弹簧并联，所以F = F1 + F2，x = x1 = x2， 因此 kx = k1x1 + k2x2， 即：k = k1 + k2．

2．5 如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T．

（1）小车沿水平线作匀速运动；

（2）小车以加速度1沿水平方向运动；

（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角； （4）用与斜面平行的加速度

ab1把小车沿斜面往上推（设b = b）

；

1

（5）以同样大小的加速度2（b2 = b），将小车从斜面上推下来．

[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg．

（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于

tanθ = ma/mg， 所以 θ = arctan(a/g)； 绳子张力等于摆所受的拉力 ：

（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力， 合力沿斜面向下，所以θ = φ； T = mgcosφ．

（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长， 与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ角的对边 是mbcosφ，邻边是mg + mbsinφ，由此可得：

bT?(ma)2?(mg)2?ma2?g2θ T ma mg （2）

．

tan??因此角度为

mbcos?mg?mbsin?，

θ T mb φ mg

图2.5 T θ mb mg φ 5） （bcos???arctang?bsin?；

而张力为

．

φ （5）与上一问相比，加速度的

（ 4） 方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了．

2．6 如图所示：质量为m =0.10kg的小球，拴在长度l =0.5m的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求：

（1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？ （2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v与θ的关系式．这

T 时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？

θ （3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？ O l ma m 2 θ mg C φ B （ 3） 图2.6 ?mb2?g2?2bgsin?

[解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mgsinθ，负号表示角度θ增加的方向为正方向． O l 小球的运动方程为

m 2θ T ds F?ma?m2 dt， C B 其中s表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速度为 mg dsd? v??ldtdt，

因此

F?mdvdvd?mdv?m?vdtd?dtld?，

即 vdv = -glsinθdθ， （1） 取积分

?vB0vdv??gl?sin?d?60?00，

得

12vB?glcos?260?，解得：

vB?gl= 2.21(m·s-1)．

22vBvBTB?mg?m?m?mgRl由于：，

所以TB = 2mg = 1.96(N)．

（2）由（1）式积分得

12vC?glcos??C2，

当 θ = 60o时，vC = 0，所以C = -lg/2，

因此速度为

vC?gl(2cos??1)．

切向加速度为at = gsinθ；法向加速度为

2vCan??g(2cos??1)R．

由于TC – mgcosθ = man，所以张力为TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ – 1)． （3）当 θ = 60o时，切向加速度为

at?3g2= 8.49(m·s-2)，

法向加速度为 an = 0，

绳子的拉力T = mg/2 = 0.49(N)．

[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．

2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）

[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则

F = mgcosθ．

m 小球的运动方程为

d2sF?ma?m2dt，s表示弧长．

3

N h θ mg 图2.7

v?由于

dsdt，所以

d2sddsdvdvdsdv?()???vdt2dtdtdtdsdtds，

因此 vdv = gcosθds = gdh，h表示石下落的高度．

12v?gh?C2积分得 ，当h = 0时，v = 0，所以C = 0，

因此速率为

v?2gh．

f??kx2(k为常数)作用下沿直线运动．证

2．8 质量为m的物体，最初静止于x0，在力

明物体在x处的速度大小v = [2k(1/x – 1/x0)/m]1/2．

[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程 利用v = dx/dt，可得

d2xdvdxdvdv???vdt2dtdtdxdx，

因此方程变为

mvdv??积分得

kdxx2，

12kmv??C2x ．

利用初始条件，当x = x0时，v = 0，所以C = -k/x0，因此

即 ． 证毕．

[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积分即可求解．

12kkmv??2xx0，

2k11v?(?)mxx012dxmv??k?nx． 如果f(x) = -k/xn，则得212mv??klnx?C（1）当n = 1时，可得2

x12mv?kln0x， 利用初始条件x = x0时，v = 0，所以C = lnx0，因此 22kx0v?lnmx． 即

12k1?nmv??x?C1?n（2）如果n≠1，可得2．利用初始条件x = x0时，v = 0，所以

k1?nC??x0n?1，

4