q 题 8-20 图 4π?0r??U?q??∴ E??r0?r r0为r方向单位矢量． 20?r4π?0r(2)总电量q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势
q U?224π?0R?x???U?qx∴ E?? i?i3/222?x4π?0R?x??(3)偶极子p?ql在r??l处的一点电势
q11qlcos? U?[?]?ll4π?04π?0r2(r?cos?)(1?cos?)22?Upcos?∴ Er?? ??r2π?0r31?Upsin? E????r??4π?0r3解: (1)点电荷 U???8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符
?2，证: 如题8-21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为?1，
?3，?4
题8-21图
(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有 E?dS?(?2??3)?S?0
s???∴ ?2??3?0
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；
(2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即
?1?2?3?4????0 2?02?02?02?0又∵ ?2??3?0 ∴ ?1??4
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．
2
8-22 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0
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mm．B，C都接地，如题8-22图所示．如果使A板带正电3.0×10C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少? 解: 如题8-22图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2
-7
(1)∵ UAC题8-22图 ?UAB，即
∴ EACdAC?EABdAB ∴
?1EACdAB???2 ?2EABdACqA Sq2qA得 ?2?A, ?1?
3S3S2?7而 qC???1S??qA??2?10C
3qB???2S??1?10?7C且 ?1+?2?(2) UA?EACdAC?
?1dAC?2.3?103V ?08-23 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计
(1) (2) *(3) 解: (1)内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势
题8-23图
U???R2???E?dr??qdrq?
R24π?r24π?R00(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电
势由内球?q与内表面?q产生：
U?q4π?0R2?q4π?0R2?0
(3)设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q? (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且
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UA?q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?0
4π?0R2得 q??外球壳上电势
R1q R2UB?q'4π?0R2?q'4π?0R2??q?q'?R1?R2?q ?24π?0R24π?0R2d?3R处有
8-24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为
一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量．
解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q?，则球接地时电势UO?0
8-24图
由电势叠加原理有：
q'q??0
4π?0R4π?03Rq得 q???
3UO?8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为F0．试求：
(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力； (2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2
q2解: 由题意知 F0?
4π?0r2(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电
qq??,
2小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电
3q???q
4∴ 此时小球1与小球2间相互作用力
32qq'q\38F1???F0 2284π?0r4π?0r(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为
2q. 322qq33?4F ∴ 小球1、2间的作用力F2?04π?0r29*8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，分别维持电势UA=U，UB=0不变．现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．
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解: 依次设A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为?1，?2，?4,?5,?6?3，如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持UAB?U可得以下6个方程
题8-26图
?0UqA1?
?????CU?20?1
SSd
?
?????q
4
?3S?
?????qB???0U
6
?5Sd?????0
3?2
??4??5?0?
??1??2??3??4??5??6
q解得 ?1??6?
2S?Uq?2???3?0?
d2S?Uq?4???5?0?
d2S?Uq所以CB间电场 E2?4? ??0d2?0Sd1qdUC?UCB?E2?(U?)
222?0SUU注意：因为C片带电，所以UC?，若C片不带电，显然UC?
228-27 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为?r，金属球带电Q．试求：
(1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．
??解: 利用有介质时的高斯定理?D?dS??q
S(1)介质内(R1?r?R2)场强
???Qr?Qr; D?,E内?4πr34π?0?rr3??Qr?Qr D?,E外?334πr4π?0r12
介质外(r?R2)场强