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4 异步电动机的动态数学模型
异步电动机的动态数学模型[22]是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。在研究异步电动机的多变量非线性数学模型时，常作如下的假设：
(1)忽略空间谐波，设三相绕组对称，在空间中互差120°电角度，所产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布。
(2)忽略励磁饱和，认为各绕组的自感和互感都是恒定的。 (3)忽略铁心损耗。
(4)不考虑频率变化和温度变化对绕组的影响。
无论电动机转子是绕线形还是笼形，都将它等效成三相绕线转子，并折算到定子侧，折算后的定子和转子绕组匝数都相等。这样，电机绕组就等效成图1所示的三相异步电动机的物理模型。图中，定子三相绕组轴线A、B、C在空间是固定的，以A轴为参考坐标轴；转子绕组轴线a、b、c随转子旋转，转子a轴和定子A轴间的电角度?为空间角位移变量。规定各绕组电压、电流、磁链的正方向符合电动机惯例和右手螺旋定则。这时，异步电动机的数学模型由下述电压方程、磁链方程、转矩方程和运动方程组成。
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图4.1 三相异步电动机的物理模型
4.1 电压方程
(1)三相定子绕组的电压平衡方程组 uA?iARs? uB?iBRs?d?Adtd?Bdt
d?Cdt uC?iCRs? (4.1)
(2)三相转子绕组折算到定子侧的电压方程 ua?iaRs? ub?ibRs?d?adt
d?b dtd?cdt uc?icRs? (4.2)
式中uA，uB，uC，ua，ub，uc ——定子和转子相电压的瞬时值；
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iA，iB，iC；ia，ib，ic ——定子和转子相电流的瞬时值；
?A，?B，?C，?a，?b，?c ——各相绕组的全磁链；
Rs，Rr ——定子和转子绕组电阻。
上述各量都已折算到定子侧，为了简单起见，表示折算的上角标“`”均省略，以下同此。 4.2 磁链方程
每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和，因此，六个绕组的磁链可表示为：
?uA??Rs?u??0?B???uC??0 ??=??ua??0?ub??0?????uc????00Rs000000Rs000000Rr000000Rr00??iA???A??i????0?B?B??????C?0??iC?+p?? (4.3) ????i0??a??a???b?0??ib???????iRr?????c????c? 实际上，与电机绕组交链的磁通只有两类：一类是穿要过气隙的相间互感磁通；另一类是只与一相绕组交链而不穿过气隙的漏磁通，前者是主要的。定子各相漏磁通所对应的电感称为定子漏感，由于绕组的对称性，各相漏感值均相等；同样，转子各相漏磁通则对应于转子漏感。与定子一相绕组交链的最大互感磁通对应于定子互感Lms，与转子绕组交链的最大磁通对应于转子互感Lmr。由于折算后定、转子绕组匝数相等，且各绕组间互感磁通都经过气隙，磁阻相同，故可认为 Lms = Lmr。 对于每一相绕组来说，它所交链的磁通是互感磁通和漏感磁通之和，
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因此，定子各相自感：
LAA=LBB=LCC=Lms+Lls (4.4)
转子各相自感：
Laa=Lbb=Lcc=Lmr+Llr=Lms+Lls (4.5)
两相绕组之间只有互感。互感有分为两类：(1)定子三相绕组彼此之间和转子三相彼此之间位置都是固定的，故互感为常值; (2)定子任一相之间的位置是变化的，互感是角位移?的函数。
现在先讨论第一类，三相绕组轴线彼此在空间的相位差是120度。在假定气隙磁通为正玄分布的条件下，互感值应为：
Lmscos120?=Lmscos（-120?）= -Lms (4.6)
于是定子各绕组之间的互感：
LAB=LBC=LCA=LBA=LCB=LAC= -Lms (4.7)
转子各绕组之间的自感：
Lab=Lbc=Lca=Lba=Lcb=Lac= -Lmr= -Lms (4.8)
至于第二类与电机交链的磁通，即定、转子绕组间的互感，由于相互间位置的变化，可分别表示为：
LAa=LaA=LBb=LbB=LCc=LcC=Lmscos? LAb=LbA=LBc=LcB=LCa=LaC=Lmscos（??120?）
LAc=LcA=LBa=LaB=LCb=LbC=Lmscos（?-120?） (4.9)
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