π
6．已知一扇形的圆心角为rad，半径为R，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为
3________．
解析：设扇形内切圆的半径为r， π
∵扇形的圆心角为，半径为R，
31ππ
∴S扇形＝×R2＝R2.
236
∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上， R
∴R＝r＋2r＝3r，∴r＝.
3π
∵S内切圆＝πr2＝R2，
9ππ
∴S内切圆∶S扇形＝R2∶R2＝2∶3.
96答案：2∶3
7．已知α＝1 690°，
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 25
解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.
1825
(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
1825
又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋π<4π.
189747
解得－ 363647112561∴θ的值是－π，－π，π，π. 18181818 8．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧AB的长； (2)扇形所含弓形的面积． 1202 解：(1)因为120°＝π＝π， 18032 所以l＝α·r＝π×6＝4π， 3所以弧AB的长为4π. 11 (2)因为S扇形AOB＝lr＝×4π×6＝12π， 22如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点， 11 于是有S△OAB＝AB·OD＝×2×6cos 30°×3＝93. 22所以弓形的面积为S扇形AOB－S△OAB＝12π－93. 课时跟踪检测（三） 三角函数的定义与公式一 层级一 学业水平达标 1．若α＝ 2π ，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是( ) 3 3??1 B．－， ?22? 3??1 D．，－ 2??22π 在第二象限， 3 ?13? A．， ?22? C．－ ??31?， 22?解析：选B 设P(x，y)，∵角α＝1 ∴x＝－，y＝ 2 13－?2＝， 1－??2?2 ?13?. ∴P－，?22? 2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A．1 C． 2 2 B．－1 D．－ 2 2 12＋?－1?2＝ 解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝x122，∴cos α＝r＝＝. 22 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都可能 解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角． 4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) 3A．－ 43C．－ 2 B． 3 4 1D． 4 3， 2 解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝cos 210°＝－ 33?33?，∴sin 120°cos 210°＝×－＝－，故选A. 22?2?4 5．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于( ) 1 A．± 525C．± 5 5B．± 51D．± 2 y2 1＋4＝5，所以sin α＝r＝＝5 解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r＝2 5.或者取P(1，－2)，则r＝5 17π?－6．tan??3?＝________. 17π??－6π＋π?＝tan π＝3. －解析：tan?＝tan3??3??3答案：3 7．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－a12 解析：∵tan α＝＝－，∴a＝－12. 55∴r＝ 25＋a2＝13. 125，cos α＝. 1313 y22 1＋4＝5，所以sin α＝＝－＝－5. r5512 ，则sin α＋cos α＝________. 5 ∴sin α＝－ 7 ∴sin α＋cos α＝－. 137 答案：－ 13 sin α|sin α| 8．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________. |cos α|cos α sin α|sin α|sin αsin αsin α 解析：当α在第二象限时，＋＝－＋＝0；当α在第四象限时，|cos α|cos αcos αcos α|cos α||sin α|sin αsin α ＋＝－＝0. cos αcos αcos α sin α|sin α| 综上，＋＝0. |cos α|cos α答案：0 9．求下列三角函数值： 31π?19π －(1)cos(－1 050°)；(2)tan；(3)sin??4?. 3解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°， ∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝19ππ (2)∵＝3×2π＋， 33 π19ππ 3×2π＋?＝tan＝3. ∴tan＝tan?3??33(3)∵－ 31ππ＝－4×2π＋， 44 3 . 2 31π??－4×2π＋π?＝sinπ＝2. －∴sin?＝sin4??4??42 10．已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－cos α和tan α的值． 解：设点M的坐标为(x1，y1)． 由题意，可知sin α＝－ 22 ，即y1＝－. 22 2 ，求2 ∵点M在圆x2＋y2＝1上， 2 ∴x21＋y1＝1， 即x21＋－解得x1＝∴cos α＝ ? ?2?2 ＝1， 2?22或x2＝－. 22 22或cos α＝－， 22 ∴tan α＝－1或tan α＝1. 层级二 应试能力达标 1．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是( ) A．(－2,3] B．(－2,3)