试卷一：

得 分

一、单项选择题（3分×5=15分）

1、1、下列各式正确的是（ ）

（A）limA????n??n??n?1k??nAk; （B）limn??An??n?1k??nAk;

（C）limA????n??n??n?1k??nAk; （D）limn??An??n?1k??nAk;

2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） （A）P? c (B) mP?0 (C) P'?P (D) P??P 3、下列说法不正确的是（ ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测

4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A）若fn(x)?f(x), 则fn(x)?f(x) (B) sup?fn(x)?是可测函数n （C）infn?fn(x)?是可测函数;（D）若fn(x)?f(x),则f(x)可测

5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数 （C）f'(x)在[a,b]上L可积 (D) ?baf'(x)dx?f(b)?f(a)

得 分

二. 填空题(3分×5=15分)

1、(CsA?CsB)?(A?(A?B))?_________

2、设E是?0,1?上有理点全体，则E'=______,Eo=______,E=______.

3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都有_________________________________，则称E是L可测的

4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设f(x)为?a,b?上的有限函数，如果对于?a,b?的一切分划，使_____________________________________________________,则称f(x)为

?a,b?上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举

得 分 反例说明.(5分×4=20分)

1、设E?R1，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。

2、若mE?0，则E一定是可数集.

3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数。

4．设f(x)在可测集E上可积分，若?x?E,f(x)?0，则?f(x)?0

E

得 分 四、解答题（8分×2=16分）.

?x2,x为无理数1、（8分）设f(x)?? ，则f(x)在?0,1?上是否R?可积，是否L??1,x为有理数可积，若可积，求出积分值。

2、（8分）求lim?n?0ln(x?n)?xecosxdx n

得 分 五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明?0,1?上的全体无理数作成的集其势为c.

2、（6分）设f(x)是???,???上的实值连续函数，则对于任意常数

a,E?{x|f(x)?a}是闭集。

3、（6分）在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设mE??,f(x)在E上可积，en?E(|f|?n)，则limn?men?0.

n

5、（10分）设f(x)是E上a.e.有限的函数，若对任意??0，存在闭子集F??E，使f(x)在F?上连续，且m(E?F?)??，证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)

试卷一 答案：

试卷一 （参考答案及评分标准）

一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D

二、1．? 2、?0,1?； ? ； ?0,1? 3、m*T?m*(T?E)?m*(T?CE)

?n?4、充要 5、??|f(xi)?f(xi?1)|?成一有界数集。

?i?1?三、1．错误……………………………………………………2分

例如：设E是?0,1?上有理点全体，则E和CE都在?0,1?中稠密 ………………………..5分

2．错误…………………………………………………………2分 例如：设E是Cantor集，则mE?0，但E?c ， 故其为不可数集 ……………………….5分 3．错误…………………………………………………………2分

??x,x?E;例如：设E是?a,b?上的不可测集，f(x)??

???x,x??a,b??E;则|f(x)|是?a,b?上的可测函数，但f(x)不是?a,b?上的可测函数………………………………………………………………..5分

4．错误…………………………………………………………2分

mE?0时，对E上任意的实函数f(x)都有?f(x)dx?0…5分

E四、1．f(x)在?0,1?上不是R?可积的，因为f(x)仅在x?1处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分

因为f(x)是有界可测函数，f(x)在?0,1?上是L?可积的…6分 因为f(x)与xa.e.相等，进一步，?2．解：设fn(x)?2?0,1?1f(x)dx??x2dx?…8分

031ln(x?n)?xecosx，则易知当n??时，fn(x)?0 n …………………………..2分

'又因??lnt??t???1?lntt2?0，(t?3)，所以当n?3,x?0时，

ln(x?n)n?n?xln(x?n)nx?n?n?xln3ln3n3?3(1?x)………………4分 从而使得|fln3n(x)|?3(1?x)e?x…………………………………6分

但是不等式右边的函数，在?0,???上是L可积的，故有

lim??fn(x)dx???n00limnfn(x)dx?0…………………………………8分

五、1．设E?[0,1],A?E?Q,B?E\\(E?Q).

QB是无限集，??可数子集M?B …………………………2分 QA是可数集，?A?M:M. ……………………………….3分 QB?M?(B\\M),E?A?B?A?M?(B\\M),且(A?M)?(B\\M)??,M?(B\\M)??,…………..5分

?E:B,?B?c.………………………………………………6分 2．?x?E?,则存在E中的互异点列{xn},使limn??xn?x……….2分

Qxn?E,?f(xn)?a………………………………………….3分

Qf(x)在x点连续，?f(x)?limn??f(xn)?a

?x?E…………………………………………………………5分

?E是闭集.…………………………………………………….6分

3. 对??1，???0，使对任意互不相交的有限个(ai,bi)?(a,b) nn当?(bi?ai)??时，有i?1?f(b)i?f(ai)?1………………2分

i?1n将[a,b]m等分，使

?xi?xi?1??，对?T:xi?1?z0?z1?L?zk?xi，i?1有

?i?1kf(zi)?f(zi?1)?1，所以

f(x)在[xi?1,xi]上是有界变差函

数……………………………….5分 所以

V(f)?1,xi从而

V(f)?mb，因此，f(x)是[a,b]上的有界变差函

xi?1a数…………………………………………………………..6分 4、f(x)在E上可积?limn??mE(|f|?n)?mE(|f|???)?0……2分

据积分的绝对连续性，

???0,???0,?e?E,me??，?e|f(x)|dx??………………………………………………….4分

对上述??0,?k,?n?k,mE(|f|?n)??，从而n?men??e|f(x)|dx??，nlimnn?men?0…………………6分

5

．

?n?N,存在闭集

F?F1n?E,m?En??2n,f(x)在

Fn续………………………………………………………………2分 ??令

F?UIF?n，则

?x?F??k,x?n??kFn,?n?k,x?Fn?f(x)在Fk?1n?k续…………………………………………………………4分 又对任意k,m?E?F??m[E?(??F?n?kn)]?m[n??k(E?Fn)]

???m(E?F1n)?2k…………………………………………….6分 n?k故m(E?F)?0,f(x)在F?E连续…………………………..8分 又m(E?F)?0,所以f(x)是E?F上的可测函数，从而是E上的 可测函数………………………………………………………..10分

试卷二：

有

即

连

连

《实变函数》试卷二

专业________班级_______姓名 学号 题号 一 二 三 四 五 总分

得分 注 意 事 项

1、本试卷共6页。

2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

得 分 一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设M,N是两集合，则 M?(M?N)=（ ） (A) M (B) N (C) M?N (D) ?

2. 下列说法不正确的是( )

(A) P0的任一领域内都有E中无穷多个点，则P0是E的聚点 (B) P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点，则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列?Pn?，使Pn?P0，则P0是E的聚点

(D) 内点必是聚点

3. 下列断言( )是正确的。

（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( )是错误的。

（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集； （C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 5. 若f(x)是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 (A) f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?L?可积；

(B) f(x)在?a,b?R?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积 (C) f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积; (D) f(x)在?a,???R?广义可积?f(x)在?a,+??L?可积

得 分 二. 填空题(3分×5=15分)

111、设An?[,2?],n?1,2,L，则limAn?_________。

n??nn2、设P为Cantor集，则 P? ，mP?_____，P=________。

???3、设?Si?是一列可测集，则m??Si?______?mSi

?i?1?i?1?o4、鲁津定理：______________________________________________________

_______________________________________________________________ 5、设F(x)为?a,b?上的有限函数，如果_________________________________ _____________________________________________________________________________________________则称F(x)为?a,b?上的绝对连续函数。

得 分 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)

1、由于?0,1???0,1???0,1?，故不存在使?0,1?和?01 ，?之间1?1对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

3、a.e.收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

得 分 四.解答题(8分×2=16分)

?x,x为无理数1、设f(x)?? ，则f(x)在?0,1?上是否R?可积，是否L?可积，

?1,x为有理数若可积，求出积分值。

2、求极限 lim?n??nxsin3nxdx. 2201?nx1

得 分 五.证明题(6分×3+ 8?2 =34分)

1.(6分) 1、设f(x)是(??,??)上的实值连续函数，则对任意常数 c，

E?{x|f(x)?c} 是一开集.

2.(6分) 设??0,?开集G?E,使m*(G?E)??，则E是可测集。

3. （6分）在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。

4.（8分）设函数列fn(x) (n?1,2,L)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x)，证明：fn(x)a.e.收敛于f(x)。

5.（8分）设f(x)在E??a,b?上可积，则对任何??0，必存在E上的连续函数?(x)，使?|f(x)??(x)|dx??.

ab

试卷二（参考答案及评分标准）

一、1，C 2, C 3, B 4, C 5, A 二、1，?0,2? 2，c ；0 ；? 3， ?

4，设f(x)是E上a.e.有限的可测函数，则对任意??0，存在闭子集E??E，使得f(x)在E?上是连续函数，且m(E\\E?)??。

5，对任意??0,???0，使对?a,b?中互不相交的任意有限个开区间

?ai,bi?,i?1,2,L,n,只要??bi?ai???，就有?|F(bi)?F(ai)|??

i?1i?1nn三、1．错误……………………………………………………2分

??(0)?r1??(1)?r?2记(0,1)中有理数全体R?{r1,r2,L}?

??(rn)?rn?2,n?1,2L?1]中无理数，??(x)?x,x为[0，1]0，1）上的1?1映射。……………………………5分 显然?是[0，到（2．正确……………………………………………………………2分 设Ei为零测度集， 0?m(UEi)??mE?0，所以，m(UEi)?0

***i?1i?1i?1???因此，UEi是零测度集。………………………………………5分

i?1?3．错误……………………………………………………………2分

?1,x?(0,n]例如：取E?(0,??),作函数列：fn(x)??n?1,2,L

?0,x?(n,??)显然fn(x)?1,当x?E。但当0???1时，E[|fn?1|??]?(n,??) 且m(n,??)???这说明fn(x)不测度收敛到1.………………5分 4．错误…………………………………………………………2分

???xcos,0?x?1,例如：f(x)??显然是?0,1?的连续函数。 2x??0,x?0.如果对?0,1?取分划T:0?2nn1111??L???1，则容易证明 2n2n?13211|f(xi)?f(xi?1)|??，从而得到V(f)??…………………5分 ?0i?1i?1i四、1．f(x)在?0,1?上不是R?可积的，因为f(x)仅在x?1处连续， 即不连续点为正测度集………………………………………3分 因为f(x)是有界可测函数，所以f(x)在

?0,1?上是L?可积

的…………………………………. …………………………….6分

11因为f(x)与xa.e.相等, 进一步，?f(x)dx??xdx?……8分

0?0,1?2nxn??2设，则易知当fn(x)?sin3nxdx221?nxfn(x)?0…………………………………………………………2分

时，

又|fn(x)|?nx………………………………………………4分 221?nx但是不等式右边的函数，在?0,???上是L可积的……………6分 故有lim?fn(x)dx??limfn(x)dx?0…………………………8分

n00n??五、1．?x?E,f(x)?c………………………………………..1分

Qf(x)在x点连续，?对??f(x)?c?0,?U(x,?),当y?U(x,?)时，

有f(y)?f(x)??…………………………………………3分 ??f(x)?c?f(y)?f(x)?f(x)?c?f(y)?c，?y?E……5分 因此U(x,?)?E，从而E为开集………………………………..6分 2．对任何正整数

n，由条件存在开集Gn?E,使

m*(Gn?E)??1……………………………………………………1分 n令G?IGn，则G是可测集…………………………………3分

n?11对一切正整数n成立，因而m*(G?E)?0，即n是一零测度集，所以也可M?G?E测.…………………………………………………………………5分 又因m*(G?E)?m*(Gn?E)?由E?G?(G?E)知，E可测。…………………………………6分 3、易知g(x)?V(f)是?a,b?上的增函数………………………2分

ax令h(x)?g(x)?f(x), 则对于a?x1?x2?b有

h(x2)?h(x1)?g(x2)?g(x1)?[f(x2)?f(x1)]?V(f)?[f(x2)?f(x1)]?|f(x2)?f(x1)|?[f(x2)?f(x1)]?0x1x2

所以h(x)是?a,b?上的增函数……………………………………4分

因此f(x)?g(x)?h(x)，其中g(x)与h(x)均为?a,b?上的有限增函数…………. ……………………………………………………….6分

4、因为fn(x)在E上“基本上”一致收敛于f(x)，所以对于任意的k?Z?，存在可测

集

Ek?E，

fn(x)在

Ek上一致收敛于f(x)，且

m(E\\Ek)?1…………………………………………………3分 k令E?UEk，则fn(x)在E*上处处收敛到f(x)……………5分

*k?1?m(E\\E)?m(E\\UEk)?m(E\\Ek)?*k?1?1，k=1,2L k所以m(E\\E*)?0………………………………………………8分 5、证明：设en?E[|f|?n],由于

f(x)在E上a.e.有限，故

men?0,(n??)………………………………………………..2分

由积分的绝对连续性，对任何???0,?N，使

N?meN??|f(x)|dx?eN?4………………………………………4分

令BN?E\\eN，在BN上利用鲁津定理，存在闭集FN?BN和在R1上的连续函数?(x)使（1）

x?R14Nsup|?(x)|?sup|f(x)|?N……………………6分

x?FNm(BN\\FN)??;（2）

x?FN时，f(x)??(x)，且

所以

?ba|f(x)??(x)|dx??|f(x)??(x)|dx??|f(x)??(x)|dxeNBNeNeNBN\\FN??|f(x)|dx??|?(x)|dx???|f(x)??(x)|dx??

?4?N?meN?2N??4N??4??4??2……………………...8分