∴a=

x2?y2?1 ，b=1, ∴椭圆方程为2

2x2?y?1(a?b?0)22x+b,与椭圆ab联立得

（2）直线BA方程为y=

x2F1（

x=0. ∴点A（）

，），∴点C（，）

直线CF1 斜率k=∴

，又∵F1C⊥AB ，∴·=

=1，∴e=

18. 如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同

时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=. （1）求新桥BC的长： （2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 北 A M O F2 C 北 B 东

B A

60m O M 170m C 东

B 北

A

18. （1）过点B作BE⊥OC于点E， 过点A作AD⊥BE于点F。

∵tan∠BCO=，设BC=5x ，CE=3x ，BE=4x ， ∴OE=，AF=170

又∵AB⊥BC

60m O M F E 170m C ，，EF=AO=60 ，BF=4x60

，且∠BAF+∠ABF=90°，

∠CBE+∠BOC=90°，∴∠ABF +∠CBE=90°，∴∠CBE +∠BAF=90°， ∴tan∠BAF= = 为150m。

（2）以OC方向为x轴，OA为y轴建立直角坐标系。设点M（0，m），点A（0,60），B（80,120），C（170,0）直线BC方程为y=

（x

），

= ，∴x=30 ，BC=5x=150m∴新桥BC的长

即4x+3y

∴半径R=

，又因为古桥两端O和A到

该圆上任意一点的距离均不少于80m，∴RAM 80 且R

∴

80 ，∴

35 ，∴R=

80 ， 80，

此时圆面积最大。∴当OM=10时圆

形保护区面积最大。

19.已知函数f(x)?+ ，其中e是自然对数的底数。

（1）证明：f(x)是R上的偶函数； （2）若关于x 的不等式mf(x)成立，求实数m的取值范围； （3）已知正数a满足:存在x0

3

[1，+

+m1在（0，+）上恒

），使得f(x0)（x0

+3x0）成立，试比较

f(?x)=

与+

的大小，并证明你的结论。 =f(x)，∴f(x)是R上的

（1）∵x偶函数 （2）∵f(x)∴m（f(x)+）

21，∴m

=21 ，∴f(x)=

，

，

令g(x)= ，g?(x)= ，∴x

时g?(x)

g(x)单调减，xg(x)min=g(ln2)=

时g?(x)g(x)单调增，∴

，若关于x 的不等式mf(x)+m1在

。

（0，+）上恒成立，则只要mg(x)min恒成立 ，∴m∴m

（

]。

[1，+

（3）由题正数a满足:存在x0

3

），使得f(x0)x0

3

（x0

令0。

+3x0）成立。即

=

+（

x

3

（

+3x0）

h(x)+-

+3x），即h(x)min

h??x??=

+3a ，当x [1，+

）时，h??x?0 ，h(x)min

=h(1)=e+ -2a0 ，∴a要比较

与

+ 。

的大小，两边同时取以e为底的对数。只要

比较a-1与（e-1）lna的大小。令y = a-1-( e-1）lna ，

y?= 1-）时y?单调增，又∵ +

，∵a + + e-1，∴a（ + ）时y?y时，

y单调减，a（

，当a=1时，y=0，∴当a= +