∴四边形BCFG是平行四边形，

∴GB∥CF，又BG?平面EAB，CF?平面EAB， ∴CF∥平面EAB，

（2）∵CF⊥AD，CF∥BG，

∴BG⊥AD，又AB⊥AD，BG?平面EAB，AB?平面EAB，BG∩AB=B， ∴AD⊥平面EAB，∵EA?平面AEB， ∴AD⊥EA，

又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，EA?平面EAD， ∴EA⊥平面ABCD， ∴VE﹣ABCD=

=

=1．

20．已知抛物线x2=2py（p＞0），O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B． （I）若A（﹣2，1），求p的值以及圆C2的方程； （Ⅱ）求圆C2的面积S的最小值（用p表示） 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（I）把A代入抛物线方程即可求出p，计算OA的中点及|OA|得出圆的圆心和半径，从而得出圆的方程； （II）设A（x1，

），B（x2，

），根据

=0得出x1，x2的关系，利用基本不

等式求出|OA|2的最小值，从而得出圆C2的最小面积．

【解答】解：（I）∵A（﹣2，1）在抛物线x2=2py上，∴4=2p，即p=2． ∴圆C2的圆心为（﹣1，），半径r=

=

．

∴圆C2的方程为（x+1）2+（y﹣）2=．

（II）设A（x1，），B（x2，

），则

=（x2，

），

=（x2﹣x1，

）．

∵OA是圆C2的直径，∴=0，即x2（x2﹣x1）+

=0，

∵x2≠0，x1≠x2，∴x22+x1x2=﹣4p2．∴x1=﹣（x2+

）．

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∴x12=x22++8p2≥16p2．当且仅当x22=即x22=4p2时取等号．

∴|OA|2=x12+

≥16p2+=80p2．

∴圆C2的面积S=π?

≥20πp2．

21．已知函数f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R，其中e是自然对数的底数． （Ⅰ）求函数 f（x）在点（1，f（1））处切线方程；

（Ⅱ）若g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，求t的取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（1）再求出f（1），代入直线方程的点斜式得答案；

（Ⅱ）由g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，可得ex﹣tx2+x﹣ex+xlnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立．分离参数t，可得即t≤

对任意x∈（0，+∞）恒成

立．令F（x）=．两次求导可得x∈（0，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）

时，F′（x）＞0，得到F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）在（1，+∞）上单调递增．从而得到F（x）≥F（1）=1．由此可得t的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣xlnx，得f′（x）=e﹣lnx﹣1，则f′（1）=e﹣1． 而f（1）=e，∴所求切线方程为y﹣e=（e﹣1）（x﹣1），即y=（e﹣1）x+1； （Ⅱ）∵f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R， ∴g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．

?ex﹣tx2+x﹣ex+xlnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立． 即t≤

对任意x∈（0，+∞）恒成立．

令F（x）=．

则F′（x）=，

设G（x）=，

则G′（x）=成立．

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对任意x∈（0，+∞）恒

∴G（x）=在（0，+∞）单调递增，且G（1）=0．

∴x∈（0，1）时，G（x）＜0，x∈（1，+∞）时，G（x）＞0， 即x∈（0，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0， ∴F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）在（1，+∞）上单调递增． ∴F（x）≥F（1）=1．

∴t≤1，即t的取值范围是（﹣∞，1]．

请考生在第22题，23题，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]

22．已知AB是圆O的直径，点C在圆O上（异于点A，B），连接BC并延长至点D，使得BC=CD，连接DA交圆O于点E，过点C作圆O的切线交AD于点F． （Ⅰ）若∠DBA=60°，求证：点E为AD的中点； （Ⅱ）若CF=R，其中R为圆C的半径，求∠DBA．

【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（1）先证明出△ABD为等边三角形，再连BE，根据三线合一定理证明出点E为AD的中点；

（2）连CO，运用中位线定理证明出BE∥CF，继而证出BE=R，最后求出∠DAB． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AB为圆O的直径， ∴AC⊥BD，而BC=CD． ∴AB=AD，而∠DBA=60°，

∴△ABD为等边三角形，连BE，由AB为圆的直径， ∴AD⊥BE，∴E为AD中点． （Ⅱ）连CO，易知CO∥AD， ∵CF为圆O的切线，∴CF⊥CO， ∴CF⊥AD，又BE⊥AD， ∴BE∥CF，且CF=BE，由CF=∴∠DAB=30°．

知BE=R，

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[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知直线l：为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且

两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a

（a＞﹣3）

（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线C与直线l有唯一公共点，求实数a的值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（I）曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=a（a＞﹣3），把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入化为直角坐标方程．

（II）直线l：为参数），消去参数t，化为普通方程．利用直线与圆相切的

充要条件即可得出．

【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2化为直角坐标方程：x2+y2﹣2

ρsinθ=a（a＞﹣3），

=3+a＞0．

y=a，配方为：x2+

（II）直线l：为参数），消去参数t，化为普通方程：﹣y=0．

∵曲线C与直线l有唯一公共点， ∴圆心解得a=

到直线l的距离d=﹣3．

=3+a，

[选修4-5：不等式选讲] 24．已知a＞0，b＞0，记A=（1）求A﹣B的最大值；

+，B=a+b．

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