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[点睛] (1)“或”含义的理解

对“或”的理解，可联想集合中“并集”的概念，“x∈A∪B”是指“x∈A”“x∈B”中至少有一个是成立的，即“x∈A，且x?B”，也可以“x?A，且x∈B”，也可以“x∈A，且x∈B”．逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义，生活用语中的“或”表示“不兼有”，而数学中的“或”则表示“可兼有但不必兼有”．

(2)命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的记忆

①对于“p∧q”，简称为“一假即假”，即p，q中只要有一个为假，则“p∧q”为假； ②对于“p∨q”，简称为“一真即真”，即p，q中只要有一个为真，则“p∨q”为真．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是真命题时，“p∧q”为真命题( ) (2)当p是真命题时，“p∨q”为真命题( ) (3)若綈p为假命题，则p为真命题( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√

2．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是( ) A．“p∧q”形式的命题 C．“綈p”形式的命题 答案：A

3．命题“2 016≥2 015”使用的逻辑联结词是________． 答案：或

4．“p∨q”为真是“p∧q”为真的________条件．(填“充分”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)

答案：必要不充分

用逻辑联结词联结新命题 [典例] 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题． (1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；

B．“p∨q”形式的命题 D．以上说法都不对

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(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解． [解] (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等． p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等． 綈p：梯形没有一组对边平行．

(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解． p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解． 綈p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．

用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词

的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语

或省略联结词．如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．

[活学活用]

指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题． (1)方程2x2＋1＝0没有实数根； (2)12能被3或4整除．

解：(1)是“綈p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．

(2)是“p或q”形式，其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.

含有逻辑联结词的命题的真假判断 [典例] (1)已知命题p：若x>y，则－x<－y：命题q：若x>y，则x2>y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )

A．①③ C．②③

B．①④ D．②④

(2)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件． 则下列命题为真命题的是( ) A．p∧q

B．綈p∧綈q

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C．綈p∧q D．p∧綈q

[解析] (1)由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题，④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题，所以选C.

(2)依题意，命题p是真命题．由x>2? x>1，而x>1?/ x>2，因为此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧綈q是真命题，选D.

[答案] (1)C (2)D

1．命题结构的两种类型及判断方法

(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断． (2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断． 2．判断命题真假的三个步骤

(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“綈p”； (2)对命题p和q的真假作出判断；

(3)由“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断方法给出结论． [活学活用]

分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假． (1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边； (2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根； (3)A?(A∪B)．

解：(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．

(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．

(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：A?(A∪B)，因为p真，则“綈p”假，所以该命题是假命题.

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根据含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围 [典例] 已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

?Δ＝m2－4>0，?

[解] p：?解得m>2.

?－m<0，?

q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0， 解得1

∵p或q为真，p且q为假．

∴p为真，q为假，或p为假，q为真，

?m>2，?m≤2，??

?即或? ???m≤1或m≥3?1

解得m≥3或1

故m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． [一题多变]

1．[变条件]本例中将“p∨q为真，p∧q为假”改为“p∧q为真”，求实数m的取值范围．

解：∵“p∧q”为真命题， ∴p为真且q为真．

p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根

2??Δ＝m－4>0，???m>2. ?－m<0?

q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根 ?Δ＝16(m－2)2－16<0?1

2．[变条件]本例中将“q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根”改为“q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0有两个不等的实数根”，求实数m的取值范围．

2

?Δ＝m－4>0，?2

解：p：方程x＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根???m>2.

?－m<0?

q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0有两个不等的实根 ?Δ＝16(m－2)2－16>0 ?m>3或m<1.

∵p∨q为真命题．p∧q为假命题， ∴p，q为一真一假．