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所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为綈p?綈q，所以q?p，所以B?A， 3a≥3，??
所以?a≤－2，?a∈?.
??a>0
2．[变条件]将“q：实数x满足x2－x－6≤0”改为“q：实数x满足x2＋3x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．
解：由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a 所以q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}． 因为綈q?綈p，所以p?q，所以A?B， 3a≥－3，?? 所以?a≤0，?－1≤a<0. ??a<0所以a的取值范围是[－1,0)． 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 充要条件的证明 [典例] 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. [证明] (1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，c x1x2＝a<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0. c (2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝a<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号， 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 第 22 页 共 281 页 充要条件的证明思路 (1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q?p，“必要性”是p?q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反． (2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明． [活学活用] 11 已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. xyy－x1111 证明：(1)必要性：由<，得－<0，即<0， xyxyxy又由x>y，得y－x<0，所以xy>0. (2)充分性：由xy>0及x>y， xy11 得xy>xy，即x 11 综上所述，<的充要条件是xy>0. xy 层级一 学业水平达标 1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D 当数列{an}的首项a1＜0时，若q＞1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1＜0时，要使数列{an}为递增数列，则0＜q＜1，所以“q＞1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D. 2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( ) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲． 又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙 第 23 页 共 281 页 丙，如图． 综上，有丙?甲，但甲 丙， 即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． ab 3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( ) |a||b|A．a＝－b C．a＝2b B．a∥b D．a∥b且|a|＝|b| abab 解析：选C 对于A，当a＝－b时，≠；对于B，注意当a∥b时，与可能不 |a||b||a||b|a2bb 相等；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b， |a||2b||b|abab 此时≠.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b. |a||b||a||b| 4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数， 而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)． 故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件． 5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是( ) A．x≥0 C．log2(x＋1)>0 解析：选B ∵|x|＝x?x≥0， ∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意． 对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0， ∴x≥0或x≤－1. 故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件． 6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________________条件． 解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A?/ B. 又因否命题为真，所以逆命题为真，即B?A， 所以A是B的必要不充分条件． 答案：必要不充分 7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________． B．x2≥－x D．2x<1 第 24 页 共 281 页 解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p?q，但q是q对应集合的真子集，所以a<1. 答案：(－∞，1) 8．下列命题： ①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件； p，也就是说，p对应集合 ②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件； ③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件； ④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的序号为______________． 解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件； ②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题； a2 ③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是 11“两直线平行”的充要条件； ④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0. 所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然． 因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件． 综上可知，真命题是④. 答案：④ 9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件． (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y； (2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形； (4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2. 解：(1)∵|x|＝|y| x＝y，但x＝y?|x|＝|y|， ∴p是q的必要不充分条件． (2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形 △ABC是等腰三角形， △ABC是直角三角形， ∴p是q的既不充分也不必要条件． (3)∵四边形的对角线互相平分 四边形是矩形， 四边形是矩形?四边形的对角线互相平分， ∴p是q的必要不充分条件． (4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于