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故m≤0，为真命题． [一题多变]
1．[变设问]若本例(3)改为判断“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？
解：原命题的逆命题为“若x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．
1
因为方程x2＋x－m＝0有实根，所以判别式Δ＝1＋4m≥0，所以m≥－，故逆命题为
4假命题．
2．[变条件]若本例(3)改为判断“若m>0，则mx2＋x－1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？
解：原命题的逆否命题为“若mx2＋x－1＝0无实根，则m≤0”． 因为方程mx2＋x－1＝0无实根，则m≠0， 1所以判别式Δ＝1＋4m<0，则m<－，
4故m≤0，为真命题．
解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命
题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．
等价命题的应用
[典例] 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
[证明] 法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b) 若a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a) 法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 第 14 页 共 281 页 ∴f(a) 这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾． 因此假设不成立，故a＋b≥0. 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有 困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题． [活学活用] 证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2. 证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”． 11 由于m＋n>2，则m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2， 22所以m2＋n2≠2. 故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题． 层级一 学业水平达标 1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( ) A．原命题、否命题 C．原命题、逆否命题 B．原命题、逆命题 D．逆命题、否命题 解析：选C 因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题． 2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3 C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 解析：选A a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3. 3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( ) A．能被3整除的整数，一定能被6整除 B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除 C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除 第 15 页 共 281 页 D．不能被6整除的整数，能被3整除 解析：选B 即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题． 4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( ) A．互逆命题 C．互为逆否命题 B．互否命题 D．以上都不正确 解析：选A 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则 綈A”．故q与r为互逆命题． 5．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A．真，假，真 C．真，真，假 B．假，假，真 D．假，假，假 解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B. 6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________． 解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题． 答案：假命题 7．已知命题“若m－1 解析：由已知得，若1 ??m－1≤1，∴?∴1≤m≤2. ?m＋1≥2.? 答案：[1,2] 8．下列命题中： ①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆； ⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形． 其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________． 解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写 第 16 页 共 281 页 为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断． 答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤ 9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假． (1)等高的两个三角形是全等三角形； (2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧． 解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题； 否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题； 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题． (2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题； 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题； 逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题． 10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假． 解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下： 抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上， 判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. 因为a<1，所以4a－7<0. 即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点． 所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集． 故原命题的逆否命题为真命题． 层级二 应试能力达标 1．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 解析：选C 若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C. 2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( ) A．逆命题 C．逆否命题 B．否命题 D．无关命题 解析：选A 由于这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为逆命题，故选A.