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(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行． 解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． (2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．
层级一 学业水平达标
1．下列语句不是命题的有( )
①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<4；④函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数． A．0个 C．2个
B．1个 D．3个
解析：选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题． 2．下列命题是真命题的是( ) A．所有质数都是奇数 B．若a>b，则a>b
C．对任意的x∈N，都有x3>x2成立 D．方程x2＋x＋2＝0有实根
解析：选B 选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错；因为当x＝0时x3>x2不成立；选项D错，因为Δ＝12－8＝－7<0，所以方程x2＋x＋2＝0无实根.
3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交 D．若α，β相交，则a，b相交
解析：选D 由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．
4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 C．0
B．2 D．－3
解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件． 5．已知下列三个命题：
11①若一个球的半径缩小到原来的， 则其体积缩小到原来的；
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②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等； 1
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
2其中真命题的序号为( ) A．①②③ C．①③
B．①② D．②③
4R?31431
解析：选C 对于命题①，设球的半径为R，则π?＝·πR，故体积缩小到原来的，3?2?838命题正确；
对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；
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对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的
222半径，所以直线与圆相切，命题正确．
6．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)． ①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ②一个数不是正数就是负数； ③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B； ⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题； ②是假命题，0既不是正数也不是负数； ③是假命题，没有考虑在同一个三角形内； ④是真命题； ⑤祈使句，不是命题． 答案：②③④ ④ 7．给出下面三个命题：
①函数y＝tan x在第一象限是增函数； ②奇函数的图象一定过原点； ③若a>b>1，则0 其中是真命题的是________．(填序号) πππ3πππ 2π＋?＝，tan ＝1,2π＋>，但解析：①是假命题，反例：x＝2π＋和x＝，tan?6?3?64464ππ tan2π＋ 第 7 页 共 281 页 1 ②是假命题，反例：y＝是奇函数，但其图象不过原点． x③是真命题，由对数函数的图象及单调性可知是真命题． 答案：③ 8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：∵ax2－2ax－3>0不成立， ∴ax2－2ax－3≤0恒成立． 当a＝0时，－3≤0恒成立； ??a<0， 当a≠0时，则有? 2 ??Δ＝4a＋12a≤0， 解得－3≤a<0. 综上，－3≤a≤0. 答案：[－3,0] 9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么． (1)乘积为1的两个实数互为倒数； (2)奇函数的图象关于原点对称； (3)与同一直线平行的两个平面平行． 解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题． p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数． (2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题． p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称． (3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交． p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行． 10．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B 构造的命题“若p，则q”为真命题． 1＋a 解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可 5知 1＋a ≥1，解得a≥4； 5 1＋a1＋a 若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知 55≤1，解得a≤4. 故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若2 x>1，则x>”． 5 第 8 页 共 281 页 层级二 应试能力达标 1．在空间中，下列命题正确的是( ) A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一平面的两条直线平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 解析：选D A中当两平行直线确定的平面不垂直于投影面时，两平行直线的平行投影不重合．B中两直线也可以相交或异面．C中两平面可以相交．D正确．故选D. 2．下面的命题中是真命题的是( ) A．y＝sin2x的最小正周期为2π c B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则a>0 C．如果M?N，那么M∪N＝M ????????D．在△ABC中，若AB·BC>0，则B为锐角 解析：选B y＝sin2x＝ 1－cos 2x2π ，T＝＝π，故A为假命题；当M?N时，M∪N＝N，22 ????????????????故C为假命题；在三角形ABC中，当AB·BC>0时，向量AB与BC的夹角为锐角，B应 为钝角，故D为假命题．故选B. 3．下列命题为真命题的是( ) 11 A．若＝，则x＝y xyB．若x2＝1，则x＝1 C．若x＝y，则x＝y D．若x 解析：选A 很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．故选A. 4．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直 C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是平行四边形 解析：选C 命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C. 5．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域