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命题及其关系

1．1.1 命 题

预习课本P2～4，思考并完成以下问题

1．命题、真命题、假命题的概念分别是什么？

2．在命题“若p，则q”的形式中，p，q分别叫做命题的什么？

[新知初探]

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定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.????真命题：判断为真的语句.命题?分类：?

?假命题：判断为假的语句.?

??形式：“若p，则q”.其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.

[点睛] (1)判断一个语句是命题的两个要素： ①是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； ②可以判断真假．

(2)命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“集合{a，b，c}有3个子集”是命题( ) (2)“x2－3x＋2＝0”是命题( ) 答案：(1)√ (2)×

2．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”( ) A．不是命题 C．是假命题 答案：B

3．下列语句中，是假命题的是( ) A．一条直线有且只有一条垂线 B．不相等的两个角一定不是对顶角 C．直角的补角必是直角 D．两直线平行，同旁内角互补 答案：A

4．命题“一个正整数不是合数就是素数”的条件p为______，结论q为________． 答案：一个正整数 不是合数就是素数

命题的判断 [典例] 判断下列语句是否是命题，并说明理由． π

(1)是有理数； 3(2)3x2≤5；

(3)梯形是不是平面图形呢？

B．是真命题 D．不能判断真假

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(4)x2－x＋7>0.

π

[解] (1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

3(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．

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x－?2＋>0，所以“x2－x＋7>0”是真的，故是命题． (4)因为x2－x＋7＝??2?4

判断语句是否是命题的策略

(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题． (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．

[活学活用]

判断下列语句是否为命题，并说明理由． (1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形； (2)任何集合都是它自己的子集； (3)对顶角相等吗？ (4)x>3.

解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题． (2)是陈述句，能判断真假，是命题． (3)不是陈述句，不是命题．

(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.

判断命题的真假 [典例] 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x＝4时，2x＋1<0；

(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；

(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列． [解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形． (2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.

(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.

(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．

命题真假的判定方法

(1)真命题的判定方法：

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真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．

(2)假命题的判定方法：

通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． [活学活用]

下列命题中真命题有( )

①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；

②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

解析：选A ①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集.

命题的结构形式 [典例] 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)6是12和18的公约数；

(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分；

(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. [解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题． (2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题． (3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题． (4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．

把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．

[活学活用]

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除；

(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (3)两个相似三角形是全等三角形；